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\begin{document}

\begin{titlepage}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}
\center
\textsc{\LARGE Universität Tübingen}\\[1.5cm] 
\textsc{\Large F-Praktikum}\\[0.5cm] 
\textsc{\large SSP}\\[0.5cm] 
\HRule \\[0.4cm]
{\huge \bfseries Sättigungsspektroskopie}\\[0.4cm] 
Version 2
\HRule \\[1.0cm]
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushleft} \large
        \emph{Von:}\\
        Gruppe 22\newline
        \underline{Fabian Kraus}\newline
        Simon Fischer
    \end{flushleft}
\end{minipage}
~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushright} \large
        \emph{Betreuer:}\\
        Manuel Kaiser
    \end{flushright}
\end{minipage}\\[2cm]
{\large Durchgeführt: 30.04.2021}\\
{\large Version 1: 05.05.2021}\\
{\large Version 2: 16.05.2021}\\
\end{titlepage}


\section{Einführung}

Die Energieniveaus von Atomen sind bis in die Details der Fein- und Hyperfeinstruktur bekannt. Zwischen diesen sind Übergänge von Elektronen möglich, die dabei Photonen entweder emittieren oder absorbieren. Obwohl Atome elektrisch neutral sind, bilden gewisse Überlagerungen von elektronischen Wellenfunktionen Zustände, die einen elektrischen Dipol induzieren, welcher dann mit dem elektromagnetischen Feld von eingestrahltem Licht interagieren kann. Die theoretisch bestimmten Termschemata können experimentell überprüft werden. Dabei macht man sich die Wechselwirkung von Atomen mit Licht zunutze um die den Energiedifferenzen und die dazugehörigen Frequenzen der emittierten oder absorbierten Photonen zu bestimmen.\\
Einerseits wird mit einem durchstimmbaren Laser in der Absorptionsspektroskopie, wie der Name schon andeutet, das Absorptionsspektrum einer Probe untersucht. Bei den verschiedenen Frequenzen des Atoms beobachtet man Minima im Spektrum, da die Photonen im Laserstrahl von den Atomen der Probe absorbiert werden. Die Peaks werden durch unterschiedliche Effekte verbreitert und sind dadurch schwierig auseinanderzuhalten. Besonders die sogenannte Dopplerverbreiterung kann mehrere Peaks zu einem einzigen unterdrücken. Um die Dopplerverbreiterung loszuwerden, bedient man sich der Sättigungsspektroskopie. Dabei werden zwei Laserstrahlen aus unterschiedlichen Richtungen auf die Probe gestrahlt. Der Sättigungsstrahl entvölert Atome aus dem Grundzustand und regt diese an, der Teststrahl tastet das Spektrum ab. Dabei entstehen scharfe Peaks innerhalb der dopplerverbreiterten Gaußkurve eines Übergangs, welche sich dann zu den theoretisch vorhergesagten Frequenzen zuordnen lassen. Ziel des Versuchs ist es, mit der Absorptionsspektroskopie zu beginnen und anschließend in einem Sättigungsspektrum die beobachteten Peaks den atomaren Übergängen zuzuordnen.



\section{Theorie}


    \subsection{Beziehung von Resonator- zu Wellenlänge}
    Die Bedingung einer stehenden Welle mit Wellenlänge $\lambda$ innerhalb der Resonatorlänge $L$ ergibt
        \begin{equation}
            \Delta\lambda\,=\,\frac{\partial\lambda}{\partial L}\Delta L\,=\,\frac{2}{n}\Delta L.
        \end{equation}
        Die thermische Ausdehnung ist in der ersten Ordnung linear gegeben durch $\alpha L_0 = \frac{\Delta L}{\Delta T}$, wobei $\alpha$ den thermischen Ausdehnungskoeffizienten bezeichnet. Damit ist die Änderung der Wellenlänge in Abhängigkeit der Temperatur gegeben über
        \begin{equation}
            \Delta\lambda\,=\,\frac{2}{n}L_0\alpha \Delta T.
        \end{equation}
        

    \subsection{Laserverstimmung durch Winkeländerung des Beugungsgitters}
        Die Interferenzbedingung (5) aus der Anleitung lässt sich umstellen nach $\alpha$:
        \begin{equation}
            2d\sin\alpha\,=\,\lambda \Leftrightarrow \alpha\,=\,\arcsin\left(\frac{\lambda}{2d}\right)
        \end{equation}
        Damit lässt sich nun die Winkeländerung bestimmen zu
        \begin{align}
            \Delta\alpha\,=&\,\arcsin\left(\frac{\lambda}{2d}\right)-\arcsin\left\frac{\lambda'}{2d}\right)\,\approx\,\SI{2.5645e-5}{rad}\\
            \Leftrightarrow \Delta\alpha\,=&\,\arcsin\left(\frac{c}{2d \nu}\right)-\arcsin\left(\frac{c}{2d(\nu+\Delta \nu)}\right)\\
        \end{align}
        die nötig ist, um den Laser um eine festgelegte Frequenzdifferenz $\Delta \nu$ zu verstimmen. Mit den Werten $\nu = 10\cdot 10^{9}\SI{}{Hz}$, $c$ als Lichtgeschwindigkeit, $d=\frac{1mm}{1800}$ und $k=1$ erhält man schließlich
        \begin{align}
            \Delta \alpha \,\approx\,\SI{2.5645e-5}{rad}
        \end{align}
        
        
%umschreiben
    \subsection{Rubidium}
    
    Rubidium kommt in der Natur als Gemisch der zwei Isotope ${^{85}Rb}$ und $e{^{87}Rb}$ etwa im Verhältnis von $72.2 : 27.8$ vor. Ein Isotop eines Atoms bezeichnet dasselbe Ekement, bestimmt durch die Anzahl der \textit{Protonen} im Atomkern, welches sich mit einer unterschiedlichen \textit{Neutronen}anzahl unterscheidet.\\
    Rubidium ist ein Alkaliatom, das bedeutet, dass sich nur ein Elektron in dessen Valenzschale befindet. Damit bezeichnet man es oft als \textit{wasserstoffähnlich}. Vom Wasserstoff unterscheidet sich Rubidium jedoch in zwei wesentlichen Effekten:
    
     \begin{enumerate}
         \item Der \textit{Isotopeneffekt} führt zu einer Verschiebung der Energieniveaus um
         \begin{align}
             \frac{\Delta E_I}{E}\propto - \frac{1}{A^2}\frac{1}{1836},
         \end{align}
        wobei $A$ über $m_K = A m_n$ gegeben ist.
        
        
        \item Der \textit{Volumeneffekt} rührt her von der wesentlichen Ausdehung des Rubidiumkerns im Gegensatz zu dem des Wasserstoffs, welcher aus nur einem Proton besteht. Er führt zu einer Verschiebung der Energie von
        \begin{align}
            \Delta E_V = \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{4 \pi r_0^2}{10} \left| \Psi(0) \right|^2.
        \end{align}
     
 \end{enumerate}
    
   Zu den oben aufgeführten Effekten eines ausgedehnten Kerns führen innere Elektronen zur Abschirmung des Kernpotentials, was zu einem sogenannten \textit{Quantenfefekt} $\Delta_{n,l}$ führt, welcher die Energieniveaus der Elektronen wie folgt verändert:
    
        \begin{equation}
            E_{n,l}\,=\,-\frac{E_{Ry}}{\left(n\,-\,\Delta_{n,l}\right)^2},
        \end{equation}
    hierbei bezeichnet $E_{Ry}$ die Rydbergenergie. Diese Beziehung ist empirischer Natur. Es ist außerdem interessant zu sehen, dass der Quantendefekt für große Bahndrehimpulse $l$ verschwindet, wie an der nachfolgenden Tabelle für das Alkaliatom Natrium zu sehen ist. Für Natrium ist das Valenzelektron, auch Leuchtelektron genannt, ist im Grundzustand in der $3s$ Schale.
    
    \begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c|c|c}
        $l$ & $n=3$ & $n=4$ & $n=5$ & $n=6$\\
        \hline
        s & 1.37 & 1.36 & 1.35 & 1.34\\
        \hline
        p & 0.88 & 0.87 & 0.86 & 0.86\\
        \hline
        d & 0.1 & 0.11 & 0.13 & 0.11\\
        \hline
        f & --- & 0.00 & -0.01 & 0.009\\
        \hline
    \end{tabular}
    \caption{Quantendefekt am Beispiel von Natrium}
    \label{ssp_tab_ssp}
\end{table}

Eine Erhöhung des Bahndrehimpulses $l$ lässt sich qualitativ als Entfernung des Valenzelektrons vom Kern interpretieren, was die Näherung als wasserstoffähnlich stützt, da es für große Abstände eine effektive, abgeschirmte Ladung von $+1e$ wahrnimmt.\\
\vspace{5mm}
    Letztlich gilt es noch zu beachten, dass die Wellefunktionen der Elektronen streng genommen Lösungen der Schrödingergleichung mit dem Vielteilchen-Hamiltonoperator
    \begin{align}
        H = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{p_i^2}{2m} - \frac{Z e^2}{4\pi \epsilon_0 r_i^2} \right)\,+\,\sum_{i>j}\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 \left|\Vec{r_i}-\vec{r_j} \right|}
    \end{align}
    sind, für $N$ Elektronen, wohingegen für Wasserstoff das Elektron jener Gleichung ohne Summierung über $i$ gehorcht. Diese Modifikation spielt insbesondere eine Rolle, wenn die der Kern von Valenzelektronen aufgrund einer nichtverschwindenden Aufentahltswahrscheinlichkeit des Leuchtelektrons nahe des Kerns nicht mehr von den übrigen Elektronen abgeschirmt wird.\\
    Dieser unterschiedliche Abschirmungseffekt liegt tatsächlich im Bereich einiger $eV$, was sich im Termschema deutlich bemerkbar macht. Der wichtigste Übergang ist die sogenannte D-Linie vom nS in den nP Zustand des Valenzelektrons in Alkalimetallen.
        
        Das Termschema von Rubidium ist in der untenstehenden Grafik dargestellt.
        
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[width = 0.5\textwidth]{01_SSP/Termschema.PNG}
            \caption{Termschema für ausgewählte Übergänge der Rubidiumisotope $^{87}Rb$ und $^{85}Rb$ | \textit{Quelle: Versuchsanleitung}}
            \label{ssp_fig_termschema}
        \end{figure}
        
        
    \subsection{Dopplerverbreiterung}
    Linien im Spektrum können sich durch verschiedene Effekte verbreitern. Ein Effekt ist die sog. \textit{Dopplerverbreiterung}. Aus dem Ruhesystem eines bewegten Atoms ändert sich die Frequenz des eintreffenden Photons abhängig davon, ob dieses sich der Ausbreitungsrichtung des Lichts entgegen bewegt oder in dieselbe Richtung.
    Mit $\Vec{r'}\,=\,\Vec{r}\,-\,\Vec{v}t$ als Koordinate des mitbewegten Systems sieht man mit dem Ansatz einer ebenen Welle:
        
             \begin{multline}
             \exp\left\{i\left(\Vec{k}\cdot\Vec{r}\,-\,\omega t\right)\right\}\,=\,\exp\left\{i\left(\Vec{k}\cdot\left(\Vec{r'}\,+\,\Vec{v}t\right)\,-\,\omega t\right)\right\}\\\
             =\,\exp\left\{i\left(\Vec{k}\cdot\Vec{r'}\,-\,\left(\omega\,-\,\Vec{k}\cdot\Vec{v}\right)t\right)\right\}\,=\,\exp\left\{i\left(\Vec{k}\cdot\Vec{r'}\,-\,\omega' t\right)\right\}
            \end{multline}
        Die Frequenz im Ruhesystem des Atoms ist also $\omega'\,\equiv\,\omega\,-\,\Vec{k}\cdot\Vec{v}$.
        \\
        \noindent Im Folgenden wird die Dopplerverbreiterung für die D2 Linie des Übergangs $5S_{\frac{1}{2}} \rightarrow 5P:{\frac{3}{2}}$ für Rubidium hergeleitet.

        Die Geschwindigkeiten der Atome in der Rubidiumzelle sollen einer Boltzmann-Verteilung gehorchen. Im eindimensionalen Fall lautet diese:
        \begin{equation}
            n_v(v)\mathrm{d}v\,=\,n_0\exp\left\{-\frac{mv^2}{2k_BT}\right\}
            \label{eq_Boltzmann}
        \end{equation}
        Dabei lässt sich die Normierungskonstante $n_0$ bestimmen über:
        \begin{align}
            N\,=&\,\int_{-\infty}^{\infty}n(v)\mathrm{d}v\,=\,n_0\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left\{-\frac{mv^2}{2k_BT}\right\}\mathrm{d}v\,=\,n_0\sqrt{\frac{2\pi k_BT}{m}}\\\
            \Leftrightarrow n_0\,=&\,N\sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}}
        \end{align}
        Mit der Beziehung $dv = d\nu \lambda$ lässt sich \eqref{eq_Boltzmann} umschreiben zu
        \begin{align}
            n_{\nu} d\nu\,=\,\lambda \sqrt{\frac{m}{2\pi k_B T}}\exp\left\{-\frac{m(\nu\lambda)^2}{2k_BT}\right\} d\nu.
        \end{align}
        Man erkennt eine Gauß'sche Verteilung, für welche die Breite
        \begin{align}
            \sigma_{\nu}\,=\,\sqrt{\frac{k_BT}{m}}\frac{1}{\lambda}
        \end{align}
        abzulesen ist. Mit $\lambda_{D2}$ aus Abbildung \ref{ssp_fig_termschema} und $m\approx85.46784 \SI{}{u}$ ergibt sich $\sigma_{\nu}\approx21.895\cdot 10^6 \SI{}{Hz}$. Daraus lässt sich die Halbwertsbreite berechnen zu
        \begin{align}
            \delta_{\nu} = 2 \sqrt{2 \ln(2)}\sigma_{\nu} \approx 516 \SI{}{Hz}.
            \label{eq_dopplerbreite}
        \end{align}
        

\subsection{Absorptionsspektroskopie}
Absorptionsspektroskopie, wie der Nameschon andeutet, ist das Aufnehmen des Absorptionsspektrums einer Probe, in unserem Fall von Rubidium. Bei den verschiedenen Frequenzendes Atoms beobachtet man Minima im Spektrum, da die Photonen im Laserstrahl von den Atomender Probe absorbiert werden. Die deutlich effektivere Sättigungsspektroskopie wird im folgenden Kapitel behandelt.



    \subsection{Sättigungsspektroskopie}
    
    Bei der Sättigungsspektroskopie werden zwei gegenläufe Strahlen durch die Probe geschickt: Der Pumstrahl (oder Sättigungsstrahl) entvölkert die Atome der Probe, indem er die Rubidiumatome anregt. Der Teststrahl tastet nun das Spektrum ab. Beide Strahlen entspringen der Laserdiode, welche einen einzigen Strahl emittiert. Durch einen Strahlenteiler wird dieser dann in Pump- und Teststrahl aufgeteilt. Alternativ kann dies auch durch geschickte Reflexion und Abschwächung der Strahlen geschehen, ohne diese aufzuteilen. So entsteht eine maximales, gemeinsames Volumen von Test- und Pumpstrahl.\\
    Der Vorteil der Sättigungsspektroskopie im Vergleich zur Absorptionsspektroskopie ist, dass es keine Dopplerverbreiterung vorliegt, denn aufgrund des Dopplereffekts folgende Resonanzbedingungen:
        \begin{equation}
            \begin{split}
            \omega\,-\,\Vec{k}_p\cdot\Vec{v}\,&=\,\omega_0 \\\
            \omega\,-\,\Vec{k}_t\cdot\Vec{v}\,&=\,\omega_0,
            \end{split}
        \end{equation}
    wobei $\omega$ die Laser- und $\omega_0$ die Resonanzfrequenz eines Übergangs beschreibt. Stimmen nun die eingestrahlte Wellenlänge und die es Übergangs genau überein, also $\omega\,=\,\omega_0$, so sieht man, dass $\Vec{k}_t\cdot\Vec{v}\,=\,\Vec{k}_p\cdot\Vec{v}\,=\,0$. Die Photonen werden also nur von Atomen absorbiert, die sich senkrecht zum Strahl bewegen. Diese nicht dopllerverbreiterten Peaks nennt man \textit{Sättigungspeaks}. Im Falle eines rot- oder blauverstimmten Lasers würden Pump- und Teststrahl unterschiedliche Atome von unterschiedlichen Geschwindigkeitsklassen ansprechen. Daraus folgt insgesamt weniger Absorption und damit weniger gut erkennbare Peaks im Spektrum.
       
       
       \subsection{Cross-Over-Resonanzen}
       
       Cross-Over-Resonanzen (COR) treten im Verfahren der Sättigungsspektroskopie auf, falls zwei atomare Übergänge $\nu_1$ und $\nu_2$ energetisch nahe beieinander liegen. Wir nennen zwei Übergänge "dicht benachtbart", wenn diese sich innerhalb der Breite eines Peaks befinden. Die Peaks der COR sind deutlicher erkennbar als die Sättigungspeaks, da nun zwei Geschwindigkeitsklassen beteiligt sind.\\
       Als eine COR bezeichnet man den Sachverhalt, wenn der Dopplereffekt genau die Energiedifferenz der atomaren Übergänge kompensiert und zwar so, dass Atome \textit{einer} Geschwindigkeitsklasse mit $\nu_1$ von einem Strahl und $\nu_2$ vom anderen Strahl angeregt werden. Wenn sich eine Klasse von Atomen mit $v_x$ auf den Teststrahl zu bewegt, so bewegt diese sich mit $-v_x$ weg vom Sättigungsstrahl. Damit eine Resonanz entsteht, ergibt sich für die Geschwindigkeitsklassen, die von Test- und Pumpstrahl angeregt werden:
       \begin{align}
           v_{x,sat}\,&=\,v_{x,test}\\
           \Leftrightarrow \frac{\nu-\nu_1}{k}\,&=\,-\frac{\nu-\nu_2}{k}\\
           \Leftrightarrow \nu\,&=\,\frac{\nu_1 + \nu_2}{2}\\
       \end{align}
       Die COR $\nu$ liegt also genau zwischen den zwei Frequenzen der atomaren Übergänge $\nu_1$ und $\nu_2$. Die COR entsteht nun, falls für Atome der Klasse 1 der Dopplereffekt genau für die "fehlenden" $+\frac{\nu_1 + \nu_2}{2}$ des Teststrahls aufkommt und gleichzeitig für Atome der Klasse 2 für die $-\frac{\nu_1 + \nu_2}{2}$ und andersherum. So bezeichnet man die Peaks als \textit{1S2T} und \textit{2S1T}.\\
       \\[0.5pt]\\
       \noindent Letztlich gilt es noch die Frage zu beantworten, wie viele Peaks in einem dopplerverbreiterten Peak der D2 Linie von Rubidium zu erwarten sind. Nach Abbildung \ref{ssp_fig_termschema} sind vier solche Peaks zu erwarten, da die Hyperfeinstrukturen der angeregten Zustände nicht mehr auseinanderzuhalten sind. Das folgt aus der berechneten Dopplerbreite \eqref{eq_dopplerbreite} von etwas über $500 \SI{}{MHz}$, was von der Differenz der Hyperfeinstrukturübergänge nicht überschritten wird. So treten zwei Linien für $^{85}Rb$ ([2,x] und [3,x]), sowie zwei Linien für $^{87}Rb$ ([1,x] und [2,x]) auf. Insgesamt treten also vier dopplerverbreitete Linien auf, welche jeweils drei Sättigungpeaks der Hyperfeinstrukturübergänge enthalten. Mit COR werden diese zu sechs Sättigungpeaks (s. oben).
       


\newpage


\section{Versuchsdurchführung}

\subsection{Absorptionsspektroskopie}


Bei der Absorptionsspektroskopie wird der Teststrahl durch die Rubidiumatome geführt. Anschließend wird dieser auf die Photodiode gelenkt. Man beobachtet das Spektrum auf dem Oszilloskop und variiert die Spiegelposition so lange, bis das bestmögliche Ergebnis sichtbar wird.\\
Der Aufbau ist ähnlich zu dem der Sättigungsspektroskopie in Abbildung \ref{fig:ssp_aufbau} nur ohne den Spiegel am rechten Ende und ohne das NDF.





\subsection{Sättigungsspektroskopie}


\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 18cm]{01_SSP/setup1.PNG}
    \caption{Aufbau für die Sättigungsspektroskopie}
    \label{fig:ssp_aufbau}
\end{figure}

Wie zuvor bei der Absorptionsspektroskopie wurde bei der Sattigungsspektroskopie die Spiegelposition variiert. Zusätzlich kann man noch die $\lamda$-Halbe-Platte zur Justierung nutzen. Im Anschluss werden zwei Sattigungenspektren aufgenommen.




\newpage
\section{Ergebnisse \& Auswertung}

\subsection{Absorptionsspektroskopie}

\subsubsection{Parameter}
Bei der Beobachtung des Absorptionsspektrums auf dem Oszilloskop kann man folgende Änderungen vornehmen:
Variation des Laserstroms, ein Abschwächer und dessen Position, sowie die Stellung der Gaszelle.

 \begin{enumerate}
         \item Die Änderung des Laserstroms entspricht einer Durchstimmung des Lasers. Eine Erhöhung oder Erniedrigung des Laserstroms führt zur Verschiebung des Spektrums in größere oder kleinere Frequenzbereiche.
         
              \item Die Abschwächung des Laserstrahls, führt zu einer Verringerung
der Amplituden im Spektrum aufgrund von einer kleineren Anzahl an angeregten Atomen. Änderungen der Position des Abschwächers führen zur Variation der Teststrahlintensität. Hierbei sollte darauf geachtet werden, dass der Sättigungsstrahl stets eine höhere Intensität als der Teststrahl aufweist.
     
     
         \item Eine Veränderung der Stellung der Gaszelle kann, wie bei der Absorptionsspektroskopie, unerwünschte Reflexe verhindern, wobei die Gaszelle in falscher Position wie ein zusätzlicher (unerwünschter, dritter) Resonator wirken kann.
     
 \end{enumerate}
 
 \subsubsection{Absorptionsspektrum} %TODO: neu machen
Das aufgenommene Spektrum ist in Abb. \ref{fig:ssp_abs} zu sehen. Die Grundspannung wurde abgezogen, und den vier deutlich erkennbaren Absorbtionstälern wurden Gaußkurven angepasst. Die Achsen sind hier in willkürlichen Einheiten (Arbitrary Units, au). Die erhaltenen Parameter der Gaußkurven sind in Tabelle \ref{tab:ssp_absfit} zusammengefasst.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 18cm]{01_SSP/ssp1.png}
    \caption{Aufgezeichnetes Absorptionsspektrum (schwarze Punkte) mit Ausgleichspolynom zweiten Grades + vier Gauß-Peaks gefittet (rote Kurve), in willkürlichen Einheiten auf beiden Achsen}
    \label{fig:ssp_abs}
\end{figure}
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c}
        Peak-Nr. (v. l. n. r.) & \mu & \sigma \\ \hline
        1 & -0.0324749 & 0.000979152 \pm 1.17704 \cdot 10^{-6} \\ \hline
        2 & -0.0223604 & 0.000989892 \pm 4.1371 \cdot 10^{-6} \\ \hline
        3 & -0.011337 & 0.000882814 \pm 1.08875 \cdot 10^{-6} \\ \hline
        4 & -0.0071319 & 0.000783944 \pm 2.64299 \cdot 10^{-6} \\
    \end{tabular}
    \caption{Parameter der Gaußkurven
    %mit $I(f)=f_0-f_1\cdot\exp{\lbrace-\frac{1}{2}\left(\frac{f-\mu}{\sigma}\right)^2\rbrace}$
    aus Abb. \ref{fig:ssp_abs}}
    \label{tab:ssp_absfit}
\end{table}
Der größte Peak (Nr. 3) gehört zu dem wahrscheinlichsten Übergang. Eigentlich wäre dies der [2,3] von Rb-87, dieses Isotop ist aber seltener als Rb-85, dieser Übergang wird also dem zweitgrößten entsprechen (Nr. 4). Also kann man Nr. 3 als den [3,4] Übergang des häufigeren Isotops Rb-85 identifizieren. 
Die Differenz dieser beiden Übergänge kann man aus dem Termschema (Abb. \ref{ssp_fig_termschema}) ablesen:
\begin{equation*}
    \Delta f[\text{MHz}] =-1265 + c/780.24\text{nm}+100 - (-2563 + c/780.24\text{nm}+194)= 1126
\end{equation*}
Man kann somit die Umrechnung der willkürlichen Einheiten auf der x-Achse in Frequenzen angeben als
\begin{equation}
    f[MHz] = \frac{1126}{0.011337-0.0071319} = (267770\pm10^3)\,\cdot\,f[au]
\end{equation}
Damit folgt sofort, dass Peak 1 einem Übergang entspricht, der ca. 5661.0 MHz von [3,4] Rb-85 entfernt ist, und Kurve 2 einem mit ca. 2951.74 MHz Differenz. Wenn man diese Werte mit dem Termschema vergleicht, kann man schlussfolgern, dass Peak 1 zu [1,2] ($\Delta f = 5442$ MHz) oder [1,1] ($\Delta f = 5282$ MHz) und Peak 2 zu [2,2] ($\Delta f = 2852$ MHz) von Rb-87 passen könnte.

Ebenso kann man nun die FWHM der Peaks ausrechnen, die gegeben ist durch:
\begin{equation}
    \text{FWHM} = 2 \sqrt{2 \text{ln} 2} \sigma
\end{equation}
Benutzt man noch die von dem Fit erhaltenen Fehler von $\sigma$, so erhält man folgende experimentelle Werte für die FWHM:
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c|c}
        Peak-Nr. & Übergang & Isotop &FWHM [MHz] \\ \hline
        1 & [1,2] o. [1,1] & Rb-87 & 617 \pm 2.30 \\ \hline
        2 & [2,2] & Rb-87 & 624 \pm  2.33 \\ \hline
        3 & [3,4] & Rb-85 & 556 \pm  2.08 \\ \hline
        4 & [2,3] & Rb-87 & 494 \pm  1.85 \\
    \end{tabular}
    \caption{Identifikation der Peaks aus Abb. \ref{fig:ssp_abs} und deren FWHM}
    \label{tab:ssp_absfit}
\end{table}
Die oben stehenden Werte der Peaks passen gut zum erwarteten Wert von ungefähr 500 MHz.
\newpage
\subsection{Sättigungsspektroskopie}

\subsubsection{Parameter}

Bei der Beobachtung des Sättigungsspektrums können zusätzlich zu denen des Absorptionsspektrums folgende Änderunge vorgenommen werden: 

 \begin{enumerate}
     \item Eine Änderung des Strahlengangs bewirkt bei passender Einstellung die Überlagerung von Sättigungs- und Teststrahl. Je größer die Überschneidung der Strahlen, desto besser sind Effekte der Sättigungsspektroskopie auf dem Oszilloskop zu erkennen.


     \item Durch ein $\frac{\lambda}{2}$-Plättchen kann der Teststrahl
abgeschwächt werden.
     
 \end{enumerate}



 
 
 \subsubsection{Sättigungsspektren} %TODO: neu machen

Für das Spektrum der Sättigungsspektorskopie wurden die atomaren Übergänge von $^{87}Rb$ mit $F=2$
nach $F'=1$, $F'=2$ und $F'=3$ aufgezeichnet.



Aus einfachen Berechnungen folgen die theoretische erwarteten Werte für die Frequenzen $\nu$, bei welchen Crossoverresonanzen auftreten sollten. Beispielhaft für den Übergang von $^{87}Rb$ mit Feinstrukturübergang $[2,3]$ folgt:
\begin{align}
    \nu_{^{87}Rb_{[2,3]}} = \frac{c}{\lambda_{D2}}-2563 MHz + 194 MHz = 384.2281153 THz.
\end{align}
Den Wert für $\lambda_{D2}$ erhält man aus Abbildung \ref{ssp_fig_termschema}.\\
Damit lassen sich die gemessenen Werte mit den theoretisch berechneten gegenüberstellen, was in Tabelle \ref{ssp_tab_ssp} aufgeführt ist. Dafür muss erneut die Skalierung der x-Achse wie zuvor umgerechent werden. Die Differenz der beiden Übergänge [2,2] und [2,3] kann direkt man aus dem Termschema (Abb. \ref{ssp_fig_termschema}) ablesen:
\begin{align}
    \Delta f[\text{MHz}]=& f[2,2]-f[2,3]\\
    =& 267
\end{align}
Man kann somit die Umrechnung der willkürlichen Einheiten auf der x-Achse in Frequenzen angeben als
\begin{equation}
    f[MHz] = \frac{267}{0.00278076-0.00129002} = (179105.68\pm10^3)\,\cdot\,f[au].
\end{equation}
Um die Ergebnisse besser vergleichen zu können wurde der Faktor $\frac{c}{\lambda_{D2}}$ von den theoretischen Werten abgezogen. Des weiteren wird der Nullpunkt um $256.05$ MHz angepasst.
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c|c}
        Übergang & Theorie [MHz] & Experiment [MHz] & Abweichung [MHz] \\
        \hline
        [2,1] & 330.1 & 329.33 \pm 4.1 \cdot 10^{-3} & 0.77 \\ %8.9 \cdot 10^{-6}\\
        \hline
        COR\footnote{} [2,1] $\leftrightarrow$ [2,2] & 408.6 & 410.18 \pm 6.98 \cdot 10^{-3} & 1.5 \\ % -0.002019\\
        \hline
        [2,2] & 487.1 & 487.1 \pm 1.2 \cdot 10^{-2} & 0\\ % -0.001589 \\
        \hline
        COR [2,1] $\leftrightarrow$ [2,3] & 542.1 & 540.6 \pm 1.7 \cdot 10^{-2} & 2.1 \\ %-0.001284\\
        \hline
        COR [2,2] $\leftrightarrow$ [2,3] & 620.6 & 617.89 \pm 8.37 \cdot 10^{-3} & 2.71 \\ % 6.172e-05\\
        \hline
        [2,3] & 754.1 & 754.10 9.43 \cdot 10^{-3} & 0 \\
    \end{tabular}
    \caption{Theoretisch berechnete Frequenzen vs. Experimentell bestimmte Frequenzen inklusive der Crossoverpeaks}
    \label{ssp_tab_ssp}
\end{table}
\footnotetext{COR = Crossoverresonanz}
Die experimentellen Werte wurden mittels Loreentzkurven an die Daten angepasst, welche in Abbildung \ref{fig:ssp_sat} zu sehen sind. 

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width = 18cm]{01_SSP/ssp2.png}
    \caption{Aufgezeichnetes Sättigungsspektrum (schwarze Punkte) mit Polynom Grad zwei + Gauß-Tal + sechs Lorentz-Peaks gefittet (rote Kurve), in willkürlichen Einheiten auf beiden Achsen.\\
    Von links nach rechts identifizierte Peaks: [2,3] | COR [2,2]↔[2,3] | COR [2,1]↔[2,3] | [2,2] | COR[2,1]↔[2,2] | [2,1]}
    \label{fig:ssp_sat}
\end{figure}
Die deutlich zu erkennenden Peaks in Abbildung \ref{fig:ssp_sat} des [2,3]-
Übergangs und der Crossoverresonanzen CO([2,1][2,3]), CO([2,2][2,3]) stimmen bis auf sich im MHz befindende Abweichungen mit den theoretisch erwarteten Werten überein.\\
\\[0.5pt]
Die natürliche Linienbreite ergibt sich durch die Energie-Zeit-Unschärfe. Mit der Lebensdauer $\tau$ folgt daher
\begin{align}
    \Delta E \approx \frac{h}{\tau}.
\end{align}
Die Halbwertsbreite der Spektrallinie eines atomaren Übergangs wird über
\begin{align}
    \Delta \nu \leq \frac{\Delta E_1 + \Delta E_2}{h}
\end{align}
berechnet. Mit der Lebensdauer $\tau \approx 28.5 \SI{}{ns}$ der angeregten Zustände (s. Abb. \ref{ssp_fig_termschema}) und einer Lebensdauer des Grundzustands von $\tau_G = \infty$ ergibt sich
\begin{align}
    \Delta \nu \leq \frac{\Delta E}{h} \approx 5.5844 \SI{}{MHz}.
\end{align}
Die theoretisch erwarteten Linienbreiten lassen sich nun mit den experimentell bestimmten vergleichen:

\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c}
        Übergang & Natürliche Breite [MHz] & Experimenteller Wert [MHz] \\
        \hline
        [2,1] & 5.5844 & 10.07 \pm 0.08 \\
        \hline
        [2,2] & 5.5844 & 11.93 \pm 0.09 \\
        \hline
        [2,3] & 5.5844 & 9.02 \pm 0.08 \\
    \end{tabular}
    \caption{Theoretisch berechnete Linienbreiten vs. Experimentell bestimmte Breiten}
    \label{ssp_tab_breiten}
\end{table}
Dabei wurde die Breite einer Lorentzkurve mit der allgemeinen Form
\begin{align}
    f(\omega) = \frac{1}{(\omega^2 - \omega_0^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}
\end{align}
über
\begin{align}
    FWHM = \sqrt{\omega_0^2 + \gamma \omega_0} - \sqrt{\omega_0^2 - \gamma \omega_0} \stackrel{\gamma << \omega_0}{\approx} \gamma
\end{align}
bestimmt. Die experimentell bestimmten Linienbreiten liegen in der Größenordnung der theoretisch berechneten, jedoch sind diese um einen Faktor zwei größer. Diese Abweichung ist durch andere, nicht berücksichtigte Verbreiterungsmechanismen wie Druck- und Stoverbreiterung zu erklären.



\section{Fazit} %TODO: ändern?
Sowohl die Absorptionsspektroskopie, als auch die Sättigungsspektroskopie liefern gute Ergebnisse, welche, bis auf wenige Ausnahmen, sehr gut zu dem theoretisch bestimmten Werten passen.\\
Besonders bei der Sättigungsspektroskopie können Abweichungen durch Streulicht oder durch eine nicht optimale Justierung des Spiegels Platten entstehen. Beinahe alle Werte liegen nahe an den Erwarteten, bis auf Abweichungen der Linienbreiten bei der Sättigungsspektroskopie, welche auf Verbreiterungsmechanismen wie Druck- und Stoßverbreiterung zurückzuführen sind.


\end{document}