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\begin{document}

\begin{titlepage}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}
\center
\textsc{\LARGE Universität Tübingen}\\[1.5cm] 
\textsc{\Large F-Praktikum}\\[0.5cm] 
\textsc{\large JKO}\\[0.5cm] 
\HRule \\[0.4cm]
{\huge \bfseries Josephson-Kontakte}\\[0.4cm] 
Version 3
\HRule \\[1.0cm]
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushleft} \large
        \emph{Von:}\\
        Gruppe 22\newline
        \underline{Fabian Kraus}\newline
        Simon Fischer
    \end{flushleft}
\end{minipage}
~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushright} \large
        \emph{Betreuer:}\\
         Kevin Uhl
    \end{flushright}
\end{minipage}\\[2cm]
{\large Durchgeführt: 14.05.2021}\\
{\large Version 1: 18.05.2021}\\
{\large Version 2: 19.05.2021}\\
{\large Version 3: 27.05.2021}\\
\end{titlepage}


\section{Einleitung}%DONE Umschreiben
Grenzflächen von Supraleiter-Normalleiter-Supraleiter können verlustfrei Strom leiten, wenn die nicht supraleitende Schicht (Normalleiter) hinreichend dünn ist. Diese Dicke beträgt üblicherweise wenige hundert Nanometer. Der besondere Effekt der beim Abkühlen unterhalb der Sprungtemperatur auftritt ist das Tunneln von Cooper-Paaren, welcher von Josephson 1962 vorhergesagt wurde. Die nach Josephson benannten Josephson-Kontakte bringen eine große Anzahl an Anwendungen mit sich, wie zum Beispiel in Form von Spannungsstandards, SQUIDS, etc. Ziel des Versuchs ist es, Eigenschaften der Josephson-Kontakte zu untersuchen, sowie Auswirkungen von externen Magnet- und Strahlungsfeldern zu analysieren.




\section{Theorie}%TODO Umschreiben
\subsection{Tunneln von Elektronen}%TODO Umschreiben wenn kevin
Elektronen können durch Barriereschichten zwischen zwei Elektroden tunneln. In  einer  vereinfachten  Beschreibung,  betrachten  wir elastisches  Tunneln  in einer  Dimension. Durch  Lösen  der  stationären  Schrödinger-Gleichung ergibt sich die Transmissionswahrscheinlichkeit
\begin{equation}
    T_m = \left( \frac{k \kappa}{k^2 + \kappa^2} \right)^2 e^{-2\kappa d},
\end{equation}
wobei $k=\sqrt{2mE}/\hbar$ der Wellenvektor des Elektrons mit $m$ der Masse und $E$ der Energie angibt. Die Größe $d$ bezeichnet dabei die Barrieredicke.\\
Der Tunnelstrom $I_{12}$ von Kontakt (1) nach Kontakt (2) weist die Proportionalitäten
\begin{align}
    I_{12} \propto&\, Zahl\, der\, besetzten\, Zustände\, in\, (1)\\
    \propto\,& Zahl\, der\, unbesetzten\, Zustände\, in\, (2)\\
    \propto& \,Tunnelwahrscheinlichkeit\, T_m
\end{align}
auf. Die Zahl der besetzten Zustände mit Energie $E$ ist proportional zur Zustandsdichte $D(E)$ multipliziert mit der  Besetzungswahrscheinlichkeit $f(E)$, welche einer Fermi-Dirac Verteilung gehorcht. In gleicher Weise ist die Zahl der unbesetzte Zustände proportional zu $D(E)\cdot (1-f(E))$. Für elastisches Tunneln ergibt sich damit
\begin{equation}
    \begin{split}
        I_{12}\,&\propto\,\int_{-\infty}^{+\infty}T_m(\epsilon)D_1(\epsilon\,-\,eV)f(\epsilon\,-\,eV)D_2(\epsilon)\left(1\,-\,f(\epsilon)\right)\mathrm{d}\epsilon \\\
        I_{21}\,&\propto\,\int_{-\infty}^{+\infty}T_m(\epsilon)D_1(\epsilon\,-\,eV)\left(1\,-\,f(\epsilon\,-\,eV)\right)D_2(\epsilon)f(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon \\\
        \Rightarrow I\,&\equiv\,I_{12}\,-\,I_{21}\,\propto\,\int_{-\infty}^{+\infty}T_m(\epsilon)D_1(\epsilon\,-\,eV)D_2(\epsilon)\left(f(\epsilon\,-\,eV)\,-\,f(\epsilon)\right)\mathrm{d}\epsilon.
    \end{split}
\end{equation}
Die Spannung zwischen den Elektroden wurde als $V$ bezeichnet.\\
Für den Fall eines NIN-Kontakts (Normalleiter-Isolator-Normalleiter) ist die Zustandsdichte nahe der Fermienergie annhähernd konstant, da für ein freies Elektronengas gilt
\begin{align}
    D(E)\,\propto\,\sqrt{E},
\end{align}
was sich nur mit $\sqrt{E}$ und damit vergleichsweise langsam ändert. Damit erhält man für den NIN-Kontakt:
\begin{equation}
    I\,\propto\,T_m(E_F)D_1(E_F)D_2(E_F)\int_{-\infty}^{+\infty}f(\epsilon\,-\,eV)\,-\,f(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon.
\end{equation}
Nach der Näherung für $T\approx 0$ folgt mit einer Taylorentwicklung
\begin{multline}
    \int_{-\infty}^{+\infty}f(\epsilon\,-\,eV)\,-\,f(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon\,\approx\,\int_{-\infty}^{+\infty}\left(f(\epsilon)\,-\,f'(\epsilon)*eV\right)\,-\,f(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon\\\
    =\,-eV\int_{-\infty}^{+\infty}f'(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon\,=\,-eV\left(f(\infty)-f(-\infty)\right)\,=\,-eV(0\,-\,1)\,=\,eV.
\end{multline}
Auffällig ist hier ein \textit{linearer} Zusammenhang zwischen Strom und Spannung.


\subsection{Supraleitende Elektroden: Quasiteilchen-Tunneln}\label{sec2.2}
Die Zustandsdichte eines Supraleiters zeichnet sich durch Divergenzen nahe einer Lücke um die Fermienergie herum aus, wie in  \autoref{Abb1} zu sehen ist.
\begin{figure}[H]
   \centering
   \includegraphics{03_JKO/Zustandsdichte_SL.png}
   \caption{Zustandsdichte $D_S$ eines Supraleiters mit Energielücke $\Delta$; Quelle: Abb.2 aus [\ref{jko_quelle2}].}
   \label{Abb1}
\end{figure}
Analytisch lässt sich diese beschreiben durch den Ausdruck
\begin{equation}
   D_S(\epsilon)\,=\,
   \begin{cases}
   D_N(0)\frac{\mid\epsilon\mid}{\sqrt{\epsilon^2\,-\,\Delta^2}}&\text{wenn} \mid\epsilon\mid\,\geq\,\Delta\\0&\text{wenn} \mid\epsilon\mid\,<\,\Delta.
   \end{cases}
\end{equation}
Die BCS Theorie sagt voraus, dass diese Energielücke durch die Bildung von Cooper-Paaren nahe der Fermifläche entsteht, da Elektronen durch Bildung eines solchen Paares die Energie
\begin{equation}
   2\Delta(T\,\ll\,T_C)\,\approx\,2\Delta(T\,=\,\SI{0}{K})\,\approx\,3.5k_BT_C
\end{equation}
'sparen', was bedeutet, dass die Elektronen diesen Zustand präferiert einnehmen werden.\\
\\[0.5pt]
Die I-V-Kennlinie für den NIS-Kontakt mit einer Barrieredicke in der Größenordnung von $d\,\approx\,\SI{1}{nm}$ lässt sich durch genaueres Betrachten von \autoref{Abb2} erklären.\\
\begin{figure}[H]
   \centering
   \includegraphics[width=120mm]{03_JKO/NIS-Kontakt.png}
   \caption{Zustandsdichten (a) und IV-Kennlinien (b) eines NIS-Übergangs; Quelle: Abb.3 aus [\ref{jko_quelle2}].}
   \label{Abb2}
\end{figure}
Verschwindet die angelegte Spannung $V=0$, so sind die Ferminiveaus der beiden Kontakte auf derselben Höhe, also $E_{F,1} = E_{F,2} =: E_{F}$. Dadurch können keine Elektronen vom Normalleiter zum Surpaleiter tunneln, da keine freien Niveaus in erreichbarer Nähe für die Elektronen nahe der Fermienergie auf Seiten des Normalleiters liegen. Wenn hingegen eine Spannung mit dem Wert $V\,=\,\frac{\Delta}{e}$ angelegt wird, so verschieben sich die Niveaus von Normalleiter und Supraleiter genügend, um den Elektronen des Normalleiters die Möglichkeit zu geben, in den \textit{unbesetzten} Bereich mit divergierender Zustandsdichte des Supraleiters überzugehen. Dieser Fall ist durch einen steilen Anstieg des Stroms in der I-V-Kennlinie eingezeichnet. Durch Erhöhen der angelegten Spannung wird das Ferminvieau des Normalleiters immer weiter in Richtung Normalleiter-Zustandsdichte geschoben, welche vom Supraleiter im Grenzfall hoher Energien angenommen wird. In diesem Fall nähert sich die I-V-Kennlinie einer Ursprungsgeraden (NIN, siehe oben) an.\\
Zieht man nun noch thermische Anregungen in Betracht, $T\,>\,\SI{0}{K}$, so erhält man qualitativ dasselbe Bild, nur etwas verwaschen.


\begin{figure}[h]
   \centering
   \includegraphics[width=120mm]{03_JKO/SIS-Kontakt.png}
   \caption{Zustandsdichten für $eV\,=\,\Delta_{II}\,-\,\Delta_I$ (a) und $eV\,=\,\Delta_{II}\,+\,\Delta_I$ (b) sowie die IV-Kennlinie eines SIS-Übergangs; Quelle: Abb.4 aus [\ref{jko_quelle2}].}
   \label{Abb3}
\end{figure}
Im Fall eines SIS-Kontakts lässt sich oben stehende Argumentation ähnlich wiederholen. In diesem Fall jedoch gibt es noch \textit{zwei} interessante Energien:\\
Im Fall $V=\Delta_{II}-\Delta_I$ tunneln thermisch angeregte Elektronen ($T>0$) von (1) nach (2), da diesen dann erneut eine unbesetzte, divergierende Zustandsdichte des Supraleiters (2) gegenübersteht. Dieser Umstand spiegelt sich in einem Maximum in der I-V-Kennlinie wider. Eine Erhöhung der Spannung sorgt dann für ein erneutes Abflachen der I-V-Kennlinie, da auch die Zustandsdichte kleiner wird. Erst wenn $V=\Delta_{II}+\Delta_I$ kommt es, ähnlich zum NIN-Kontakt, zu einer steilen Anstieg des Stroms. Dieser Anstieg ist jedoch deutlich steiler, da nun am Kontakt (1) ebenfalls eine divergierende, jedoch \textit{besetzte}, Zustandsdichte vorliegt, welche sich im Fall $V=\Delta_{II}+\Delta_I$ auf derselben Höhe wie die Divergierende des Supraleiters (2) befindet. Damit kann schlagartig sehr viel Strom fließen. Eine weitere Erhöhung der Spannung sorgt, wie zuvor, für eine Kennlinie gleich dem NIN-Fall.\\
Im Fall $T=0$ gibt es den Peak für $V=\Delta_{II}+\Delta_I$ nicht, da es keine thermische Anregung und damit auch keinen Stromgeben kann.\\
Am Beispiel eines $Nb/Al-ALO_x/NB$-Kontakt haben wir $\Delta_I\,=\,\Delta_{II}$ und damit für die Spannung $U_C$, bei der der Strom drastisch ansteigt:
\begin{equation}
   U_C\,=\,\frac{2\Delta_{Nb}}{e}\,\approx\,\frac{3.5k_BT_{C,Nb}}{e}\,\approx\,\SI{2.8}{mV}
\end{equation}
wobei $T_{C,Nb}\,\approx\,\SI{9.26}{K}$ die für Niob kritische Temperatur ist.


\subsection{Josephson-Effekte}\label{sec2.3}
\subsubsection{Josephson-Gleichungen und eichinvariante Phase}
Das in der Einleitung erwähnte Tunneln von Cooper-Paaren wird durch die sog. Josephson-Gleichungen beschrieben:
\begin{equation}
   j_s\,=\,j_0\sin\delta
   \label{jko::js}
\end{equation}
\begin{equation}
   \Dot{\delta}\,=\,\frac{2\pi}{\Phi_0}U
      \label{jko::js2}
\end{equation}
Dabei ist $\Phi_0\,\approx\,\SI{2.068e-15}{Wb}$ das Flussquant (Naturkonstante) und $\delta$ steht für die eichinvariante Phasendifferenz zweier makroskopischen Wellenfunktionen. Für diese führt man die eichinvariante Phase $\phi(\Vec{r})$ ein über:
\begin{equation}
   \phi(\Vec{r})\,=\,\varphi(\Vec{r})\,-\,\frac{q_s}{\hbar}\int_{\Vec{r}_0}^{\Vec{r}}\Vec{A}\mathrm{d}\Vec{r}
\end{equation}
Die eichinvariante Phasendifferenz $\delta$ ist dann gegeben durch die Bezeiehung:
\begin{equation}
   \delta\,=\,\varphi_2\,-\,\varphi_1\,-\,\frac{2\pi}{\Phi_0}\int_1^2A_x\mathrm{d}x.
\end{equation}



Die Cooperpaardichte $n_s$ bricht im Bereich der Störstelle ein, was zu einem Phasensprung der makroskopischen Wellenfunktion führt (s. \autoref{jko_eichinnvar_phase}).\\


\begin{figure}[H]
   \centering
   \includegraphics[width=120mm]{03_JKO/eichinvar_phase.PNG}
   \caption{Schematische  Darstellung der Cooper-Paar-Dichte $n_S$ und der eichinvarianten Phase in Abhängigkeit des Orts $x$ aus [\ref{jko_quelle2}].}
   \label{jko_eichinnvar_phase}
\end{figure}

\subsubsection{DC & AC Josephson Effekt}
Für den Fall keiner externen Spannung $U=0$ ist nach der zweiten Josephson-Gleichung (ab sofort J2) \eqref{jko::js2} die eichinvariante Phasendifferenz $\delta=:\delta_0$ zeitlich konstant. Der Maximalwert der Stromdichte $j_0$ist er-reicht,  wenn  $sin(\delta) = 1$. Damit kann man $j_0$ als die maximale Josephson-Stromdichte bezeichnen. Dies ist die maximale Stromdichte, bei der Strom fließen kann, ohne, dass Spannung abfällt. Sie wird daher auch als kritische  Stromdichte bezeichnet. Es fließt also ein dissipationsfreier Gleichstrom über den Josephson-Kontakt, was als dc Josephson-Effekt bezeichnet wird.\\
\\[0.5pt]
Im Fall $U\neq0$ kann J2 (\eqref{jko::js2}) die zeitliche Änderung der Phasendifferenz beschreiben, welche sich durch integrieren ergibt zu
\begin{equation}
   \delta(t)\,=\,\delta(0)\,+\,\frac{2\pi}{\Phi_0}Ut.
\end{equation}
Nach Einsetzen in J1 (\eqref{jko::js}) erhält man einen sinusförmigen Wechselstrom der Form
\begin{equation}
    j_s = j_0 \sin (\delta(0)+\omega_J t),
\end{equation}
mit $\omega_J = \frac{2\pi}{\Phi_0}U$, wobei $\Phi_0$ erneut das Flussquant und $U$ die externe Spannung bezeichnet. Man spricht in diesem Fall von dem AC Josephson Effekt. Dieser Effekt besonders für Anwendungen interessant,  da  ein  Josephson-Kontakt damit zu einer spannungssteuerbaren Hochfrequenzquelle mit Frequenzen im hohen Mikrowellenbereich wird.\\
Die Frequenz des Wechselstroms kann in diesem Versuchsaufbau jedoch nicht gemessen werden, da die Messtechniken nicht hinreichend sensibel sind und sich somit die Sinusschwingung zeitlich herausmitteln. Stattdessen misst man den Qausiteilchentunnelstrom (vgl. Abschnitt \ref{sec2.2}).
\begin{figure}[H]
   \centering
   \includegraphics[width=80mm]{03_JKO/IV_Kennlinie_SIS.png}
   \caption{IV-Kennlinie eines SIS-Kontakts in Stromsteuerung. Der Sprung zwischen Josephson- und Quasiteilchenast sollte dabei waagrecht dargestellt werden; Quelle: Abb.8 aus [\ref{jko_quelle2}].}
   \label{Abb4}
\end{figure}
In \autoref{Abb4} kann man erkennen, dass für einen SIS-Kontakts in Stromsteuerung bis zu einer Grenze $I_0$ einen senkrechten Anstieg der Stromstärke gibt (DC Josephson-Effekt). Bei weiterer Erhöhung der Stromstärke $I>I_0$ springt die I-V-Linie auf den Quasiteilchenast. Auf dem senkrechten Ast fällt, wie oben besprochen, keine Spannung ab (DC), während auf dem Quasiteilchenast die Spannung drastisch abzufallen beginnt durch den AC Josephson Effekt, sowie durch den Quasiteilchentunnelstrom.\\
\\[0.5pt]
Die maximale Suprastromdichte $j_0$ ist deutlich kleiner als die kritische Stromdichte $j_c$ in einem homogenen Supraleiter, also $j_0<<j_c$. Der im Praktikum verwendete Kontakt hat je nach BarrieredickeWerte von $j_0\,\in\,\left[\SI{100}{A/cm^2}, \SI{1000}{A/cm^2}\right]$, während für einen homogenen Supraleiter gilt $j_c\geq\,\SI{e7}{A/cm^2}$.

\subsection{Arten von Josephson-Kontakten}

\begin{figure}[H]
   \centering
   \includegraphics[width=110mm]{03_JKO/Arten_JS.PNG}
   \caption{Verschiedene Josephson-Kontakttypen: (a) SIS-Kontakt mit Oxidschichtals Tunnelbarriere. (b) SNS-Kontakt mit Normalleiter als Barriere. (c) Punktkontakt.(d) Dayem-Brücke (Einschnürung) (e) Korngrenzenkontakt. (f) Intrinsischer Josephson-Kontakt in Bi2Sr2CaCu2O8; Quelle: Abb.9 aus [\ref{jko_quelle2}].}
   \label{Arten_JS}
\end{figure}
Wie in \autoref{Arten_JS} zu sehen ist, gibt es verschiedene Wege, Josephson-Kontakte zu realisieren. Die sechs dargestellten Varianten sind: Über einen SIS-Kontakt, SNS-Kontakt, über eine Einschürung, mit welcher sich durch Druck die effektive Tunneldicke steuern lässt, Korngrenzenkontakt (unterschiedliche Ausrichtung der Gittervektoren), sowie über intrinsische Josephson-Kontakte.



\subsection{RCSJ Modell und Waschbrettpotential}
Ein Modell, dass aus einer Parallelschltung aller Beiträge zum Gesamtstrom besteht, nennt sich das Resistively and Capacitively Shunted Junction Model - kurz: RCSJ-Modell.
\begin{figure}[H]
   \centering
   \includegraphics[width=110mm]{03_JKO/RCSJ.png}
   \caption{a) Ersatzschaltbild des RCSJ Modells, b) schematische Darstellung; Quelle: Abb.10 Anleitung Josephson-Kontakte Physikalisches Institut Universität Tübingen, Version August 2017, Dieter Kölle }
   \label{Abb5}
\end{figure}
Mit der Kirchhoff'schen Knotenregel lässt sich aus \autoref{Abb5} folgende Differentialgleichung aufstellen:
\begin{equation}
   I\,+\,I_N(t)\,=\,I_0\sin\delta\,+\,\frac{U}{R}\,+\,C\Dot{U},
\end{equation}
wobei $R$ den Ohmschen Widerstand entweder dem linearen Anstieg im Quasiteilchentunnelstrom entspricht oder einem parallel geschalteten Shunt-Widerstand bezeichnet. Mithilfe von J2 (\eqref{jko::js2}) / AC Josephson Gleichung lassen sich $U$ und $\Dot{U}$ durch $\Dot{\delta}$ und $\Ddot{\delta}$ ersetzen und man erhält folgende inhomogene Differentialgleichung zweiten Grades in Abjängigkeit der eichinvarianten Phasendifferenz $\delta$:
\begin{equation}
   I\,+\,I_N(t)\,=\,I_0\sin\delta\,+\,\frac{\Phi_0}{2\pi R}\Dot{\delta}\,+\,\frac{\Phi_0 C}{2\pi}\Ddot{\delta}
\end{equation}
Diese Gleichung lässt sich (bis auf wenige Spezialfälle) nur numerisch lösen. Daher werden Anaologien in Form von anderen, bekannten physikalischen Systemen herangezogen, zum Beispiel das Fadenpendel mit Dämpfung, für welches die folgende Bewegungsgleichung bekannt ist:
\begin{equation}
   T_P\,=\,Mgl\sin\alpha\,+\,\eta\Dot{\alpha}\,+\,\Theta\Ddot{\alpha}
\end{equation}
Die Größen sind aus \autoref{tab1} bestimmt.
\begin{table}[H]
   \centering
   \begin{tabular}{c|c}
     RCSJ   & Fadenpendel \\
     \hline
     Phasendifferenz $\delta$   &  Auslenkungswinkel $\alpha$ \\
     Spannung $U\,\propto\,\Dot{\delta}$ & Winkelgeschwindigkeit $\Dot{\alpha}$ \\
     Strom $I$ & externes Drehmoment $T_P$ \\
     Kapazität $C$ & Trägheitsmoment $\Theta$ \\
     Leitwert $\frac{1}{R}$ & Reibungskoeffizient $\eta$
   \end{tabular}
   \caption{Analogien zwischen dem RCSJ-Modell und dem Fadenpendel mit Dämpfung}
   \label{tab1}
\end{table}
Ein anderes System, das dem RCSJ-Modell formal ähnelt ist das des Teilchens im Waschbrettpotential. Um die Analogie zu erkennen formen wir obige Gleichung für die Phasendifferenz $\delta$ etwas um:
\begin{equation}
   \frac{\Phi_0}{2\pi}C\Ddot{\delta}\,+\,\frac{\Phi_0}{2\pi R}\Dot{\delta}\,=\,-I_0\sin\delta\,+\,\left(I\,+\,I_N\right)\,\equiv\,-\frac{2\pi}{\Phi_0}\frac{\partial U_J}{\partial\delta}
   \label{jko_dgl_rcsj_phi}
\end{equation}
Mit der Definition des verkippten Waschbrettpotentials $U_J\,\equiv\,\frac{\Phi_0}{2\pi}\left\{I_0\left(1\,-\,\cos\delta\right)\,-\,\left(I\,+\,I_N\right)\delta\right\}$ erhält man eine Differentialgleichung, die die Bewegung eines Teilchens der Masse $m$ im verkippten Potntial beschreibt:
\begin{equation}
   m\Ddot{x}\,+\,\xi\Dot{x}\,=\,-\frac{\partial\left(W(x)\,-\,\left(F_d\,+\,F_N\right)x\right)}{\partial x}\,\equiv\,-\frac{\partial U_m}{\partial x}.
   \label{jko_dgl_waschbrett}
\end{equation}
Auch hier können wir alle auftretenden Größen identifizieren wie in \autoref{tab2}:
\begin{table}[H]
   \centering
   \begin{tabular}{c|c}
        RCSJ   & Waschbrett \\
        \hline
      $\delta$   &   $x$ \\
      $U\,\propto\,\Dot{\delta}$ &  $\Dot{x}$ \\
      $I$,$I_N$ &  $F_d$,$F_N$ \\
      $C$ &  $m$ \\
     $\frac{1}{R}$ &  $\xi$
   \end{tabular}
   \caption{Analogien zwischen dem RCSJ-Modell und dem Waschbrettpotential}
   \label{tab2}
\end{table}
Der Grund, wieso wir dieses Analogsystem gegenüber dem Fadenpendel bevorzugen ist es, dass dieses  Hystereseeffekte in der IV-Kennlinie des Josephson-Kontakts anschaulich erklären kann. Hysterese bedeutet in diesem Zusammenhang, dass beim Erhöhen des Stroms andere Effekte beobachtet werden als beim anschließenden Erniedrigen (oder andersherum), vergleiche \autoref{Abb6}. Wir definieren nun zunächst den Stewart-McCumber Parameter als
\begin{equation}
   \beta_C\,\equiv\,\frac{2\pi}{\Phi_0}I_0R^2C,
\end{equation}
welcher durch Einführen der Größen $i=\frac{I}{I_0}$, $i_N=\frac{I_N}{I_0}$, die normierte Zeit $\frac{t}{\tau_c}$ mit $\tau=\frac{1}{\omega_c}$ und $\omega_c = \frac{2\pi}{\Phi_0} I_0 R$ in Gleichung \eqref{jko_dgl_rcsj_phi} auftritt:
\begin{align}
    \beta_C \Ddot{\delta} + \Dot{\delta} = - \sin(\delta)+i+i_N.
\end{align}
Falls nun $\beta_C\,<\,1$, so entspricht dies nach obigen Differentialgleichungen einem System mit starker Reibung ($R$ groß, d.h. nach Gleichung \eqref{jko_dgl_rcsj_phi} großer $\Dot{\delta}$-Term, d.h. nach \autoref{tab2} und Gleichung \eqref{jko_dgl_waschbrett} entspricht dies starker Reibung im Bild des Waschbrettpotentials). Wenn nun starke Reibung vorliegt, so wird beim 'Zurückfahren' des Potentials das Teilchen sehr schnell in einem der Minima hängen bleiben, was einem nicht-hysteretischen Verlauf der U-I-Kennlinie entspricht. Wenn hingegen $\beta_C\,>>\,1$ vorliegt, so überwiegt die Trägheit des Teilchens und die Reibung spielt beinahe keine Rolle mehr. Daher kann es, selbst nach Erreichen des waagerechten Zustands, "über den Anfangszustand hinauslaufen", was einer geringeren, extern treibenden Kraft $F_N$ (bzw. Analogon Strom $I$) entspricht, welche benötigt wird, um das Teilchen in das ursprüngliche Minimum zu bewegen. Dies ist genau der Fall der Hysterese, welche in \autoref{Abb6} zu erkennen ist.
\begin{figure}[H]
   \centering
   \includegraphics[width=100mm]{03_JKO/Josephson_Hysterese.png}
   \caption{IV-Kennlinie für den hysteretischen Fall mt $\beta_C\,>\,1$ (rot) und den nicht-hysteretischen Fall $\beta_C\,<\,1$ (schwarz); Quelle: Abb.12 aus [\ref{jko_quelle2}]}
   \label{Abb6}
\end{figure}
Letztendlich gilt es noch zu erwähnen, dass man den Stewart-McCumber-Parameter beeinflussen kann. Dies gelingt durch das Parallelschalten eines Shunt-Widerstands. Wegen $\beta_C\,\propto\,R^2$ kann man so sicherstellen, dass $\beta_C\,<\,1$ ist und so die Hysterese beseitigen, vergleiche hierzu:\\
Addition von Widerständen für Parallelschaltung:
\begin{equation}
    \frac{1}{R_{ges}} = \sum_{i} \frac{1}{R_i}.
\end{equation}


\subsection{Shapiro-Stufen}
Fügt man einen treibenden Strom in Form eines Sinusterms abhängig von einer eingestrahlten Mikrowellenfrequenz hinzu, also $I_{tot}\,=\,I\,+\,I_{ac}\sin\omega_{ac}t$, so kommt es im Analogsystem des Waschbrettpotentials zu einer \textit{periodischen Verkippung} des Potentials. Abhängig vom Auslenkugnswinkel aus der Waagerechten also wird das Teilchen der Mirkowellenfrequenzdauer $T_{ac}$ entsprechend beschleunigt oder abgebremst. Die Kippung des Waschbrettpotentials wird also periodisch moduliert. Das bedeutet also, dass pro Periode das Teilchen $n\,\in\,\mathbb{N}$ Minima weiter wandert, abhängig von den Strömen $I$ und $I_{ac}$. Da im Analogmodell lediglich die Bewegung des Teilchens \textit{zwischen} Maxima eine Rolle spielt und nicht jene \textit{innerhalb} eines Potentialbauchs ('hin- und herrollen' / Einpendeln), können wir letztere Beiträge getrost vernachlässigen und die Geschwindigkeit des Teilchens als diskretisiert bezeichnen. Für das RCSJ-Modell bedeutet dies:
\begin{equation}
   \Dot{\delta}\,=\,\frac{n\cdot2\pi}{T_{ac}}\,=\,n\cdot2\pi f_{ac} \Rightarrow V_n\,=\,n\Phi_0f_{ac}
   \label{jko_shap_eq}
\end{equation}
Die Spannung ist also quantisiert und springt um $\Delta V\,=\,\Phi_0f_{ac}$ wenn der Strom kritische Werte übersteigt. Dies führt zu den sogenannten Shapiro-Stufen im I-V-Diagramm.\\
\\[0.5pt]
\textbf{Anmerkung}: Tatsächlich ist bei Einschalten der externen, treibenden Kraft auch schon die Ortskoordinate $x$ quantisiert (d.h. sie kann nur diskrete Werte annehmen). Dies kann man leicht durch die Identifikation von $x$ mit $\delta$ aus \autoref{tab2} einsehen, denn eine volle Periode der Modulation der Verkippung entspricht nichts anderem als einer Integration der eichinvarinten Phasendifferenz $\delta$, welches sich aufgrund der Tatsache, dass es sich um einen geschlossenen Weg handelt, nur um ganzzahlige Vielfache von $2\pi$ ändern kann - genau den Abständen der Minima im Waschbrettpotential. 


\subsection{Josephson-Kontakt im Magnetfeld}%TODO Umschreiben
\begin{figure}[h]
   \centering
   \includegraphics[width=100mm]{03_JKO/Josephson_Magnetfeld.png}
   \caption{Schematische Darstellung eines Josephson-Kontakts mit externem Magnetfeld in y-Richtung. Weiß: Störstelle - Hellgrau: London-Eindringtiefe der Supraleiter - Gestrichelte Linie: möglicher Integrationspfad zur Herleitung der Beziehung für $I_c(\Phi_J)$; Quelle: aus [\ref{jko_quelle2}]}
   \label{Abb7}
\end{figure}
Im externen Magnetfeld wird die Josephsonstromdichte $j_s$ im Gegensatz zu oben ortsabhängig (für \autoref{Abb7} in x-Richtung). Man integriert man den Gradienten der eichinvarianten Phase aus Abschnitt \ref{sec2.3} über den in \autoref{Abb7} eingezeichneten Integrationsweg. Da es sich um einen geschlossenen Weg handelt, kann sich die Phase nur um ganzzahlige Vielfache von $2\pi$ ändern. Nach Integration erhält man somit
\begin{equation}
   \frac{\mathrm{d}\delta}{\mathrm{d}x}\,=\,\frac{2\pi}{\Phi_0}Bd_{eff} \Rightarrow \delta(x)\,=\,\delta(0)\,+\,\frac{2\pi}{\Phi_0}Bd_{eff}\cdot x,
\end{equation}
wobei $d_{eff}$ die Dicke der Schicht ist, in die das Magnetfeld eindringen kann. Diese Länge wird über die sog. London'sche Eindringtiefe $\lambda_L$ quantifiziert. In die Störstelle der Dicke $d$ kann es vollständig eindringen. Damit erstreckt sich das Magnetfeld insgesamt über eine Länge $d_{eff}\,=\,d\,+\,2\lambda_L$.Der Grenzfall eines kurzen Kontakts wird quantitativ beschrieben durch die Forderung $a\leq 4\lambda_J$, wobei $a$ die Länge des Kontakts und
\begin{equation}
    \lambda_J=\left( \frac{\Phi_0}{2 \pi \mu_0 d_{eff} j_0} \right)^{\frac{1}{2}}
\end{equation}
als charakteristischer Längenskala auf welcher der Josephson-Kontakt ein externes Magnetfeld abschirmen kann, identifiziert wird. Für eine Länge von $a\,\leq\, 4\lambda_J$ kann man das Feld als homogen betrachten und den Fluss als Feld mal Fläche berechnen. Wenn dieser Fall nicht gegeben ist, so muss integriert werden (s.u.).\\
Die berechnete Phasendifferenz wird nun in die J1 \eqref{jko::js} / DC Gleichung eingesetzt und die erhaltene Stromdichte wird über den gewählten Pfad integriert.
\begin{figure}[H]
   \centering
   \includegraphics[width=110mm]{03_JKO/Josephson_Fraunhofer.png}
   \caption{Der Maximalstrom $I_c$ durch den Josephson-Kontakt in Form einer Fraunhoferfunktion in Abhängigkeit vom Fluss $\Phi_J$; Quelle: Abb.17 aus [\ref{jko_quelle2}]}
   \label{Abb8}
\end{figure}
Man findet nach einiger Rechnung folgenden Zusammenhang zwischen maximalem Strom $I_c$ und dem Fluss $\Phi_J\,:=\,Bd_{eff}a$ durch den Kontakt als
\begin{equation}
   I_c(\Phi_J)\,=\,I_0\left\vert\frac{\sin\left(\frac{\pi\Phi_J}{\Phi_0}\right)}{\frac{\pi\Phi_J}{\Phi_0}}\right\vert.
\end{equation}
Dies ist eine Fraunhofer-Charakteristik aus \autoref{Abb8}, die immer genau dann $0$ ist wenn $\Phi_J$ ein von null verschiedenes, ganzzahliges Vielfaches von $\Phi_0$ ist.\\
Der Grund für das Verschwinden von $I_c$ wenn $\Phi_J$ ein von null verschiedenes, ganzzahliges Vielfaches von $\Phi_0$ ist der Folgende:\\
Wenn $\Phi_J$ ein von null verschiedenes, \textit{ganzzahliges} Vielfaches von $\Phi_0$ beträgt, so wird bei der Integration
\begin{align}
    I = \int dA j
\end{align}
über sich aufhebende Beträge integriert (vgl. \autoref{Abb9}), da es sich dann für $j$ um eine symmetrische Funktion handelt. Umgekehrt, falls $\Phi_J$ ein von null verschiedenes, \textit{halbzahliges} Vielfaches von $\Phi_0$ ist, so verschwindet obiges Integral nicht, da die Stromdichte nun eine ungerade Funktion ist.
Dies lässt sich anhand der Stromdichteverteilung entlang der x-Achse erklären.\\
\begin{figure}[H]
   \centering
   \includegraphics[width=100mm]{03_JKO/Josephson_stromdichte.png}
   \caption{Stromdichteverteilung in kurzem Josephson-Kontakt im Magnetfeld; Quelle: Abb.16 aus [\ref{jko_quelle2}]}
   \label{Abb9}
\end{figure}

\newpage


\section{Versuchsdurchführung}%TODO Umschreiben
Drei gebondete Josephson-Kontakte werden auf einem dc-Chip gemessen. Dabei werden einmal ohne Shuntwiderstand, einmal mit großem und letztlich einmal mit einem kleinen Shuntwiderstand je zwei Messreihe aufgenommen. Zuerst (erste Messreihe) wird der kritische Strom in Abhängigkeit eines externen Magnetfeldes gemessen; falls die Kontakte wirbelfrei sind, so kann eine IV-Kennlinie ohne Magnetfeld aufgenommen werden (zweite Messreihe).\\
Im letzten Versuchsteil wird ein weiterer Chip mit Mikrowellenstrahlung bestrahlt um Shapiro-Stufen zu messen. Da in unserem Versuchsbaufbau der Messaparat beschädigt zu sein schien, wurde dieser Versuchsteil ausgelassen und die Daten wurden von dem leitenden Assistenten zur Verfügung gestellt. Der Kontaktverlust könnte zum Beispiel durch die thermische Ausdehnung der Kontakte zustandegekommen sein, welche beim Eintauchen in das flüssige Helium zu zu starken Verzerrungen geführt hat.\\
Der Versuchsaufbau ist in \autoref{jko_Aufbau} zu sehen.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{03_JKO/Aufbau.PNG}
    \caption{Schmatischer Aufbau des Versuchs; Quelle: Abb.22 aus [\ref{jko_quelle2}]}
    \label{jko_Aufbau}
\end{figure}


\newpage



\section{Auswertung}

\subsection{Ohne Magnetfeld}%DONE
In \autoref{JKO:fig:JJ1},  \autoref{JKO:fig:JJ2},  \autoref{JKO:fig:JJ3} sind die $I(U)$-Messungen von Kontakten 1, 2, 3 zu sehen. Diese Bauteile unterscheiden sich nach Anleitung nur durch den Shuntwiderstand, wobei die Nummerierung hier schon anhand der Charakteristika der Kurven an die der Anleitung angepasst wurde.

%DONE Widerstände
Aus den linearen Abschnitten weit entfernt von $U = 0 \, V$ kann man den Ohmschen Widerstand $R$ bestimmen. Hierzu nimmt man eine Funktion $I(U) = U/R$, und passt den Parameter $R$ mittels der Methode der kleinsten Quadrate ('Fit') an die experimentell gewonnen Daten an. Man kann dies rechts und links machen, und erhält so zwei potentiell leicht Unterschiedliche Werte $R_1, R_2$, die man nun mitteln kann. Die Ergebnisse mit Fehlern (Unsicherheit aus dem Fit und Standardabweichung des Mittelwerts) sind \autoref{JKO:tab:RundI0} zu entnehmen.

%DONE Ströme
Ebenso kann man je zwei Werte für den Cooperstrom $I_0$ erhalten, indem man einfach das Maximum und Minimum bei $U \approx 0 \, V$ bestimmt und dann die Beträge mittelt. Die Ergebnisse sind auch mit Fehlern (Standardabweichung des Mittelwerts) in \autoref{JKO:tab:RundI0} zu sehen.
\begin{table}[H]
    \centering
    %\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c}
   %     JJ\# & R_1 & \Delta R_1 & R_2 & \Delta R_2 && R  & \Delta R \\ \hline
    %    1 & 12.7477 & 0.0002 & 12.9078 & 0.0002 && 12.8304 & 0.0106 \\ \hline
    %    2 & 6.0818 & 0.0001 & 6.1368 & 0.0003 && 6.0960 & 0.0088 \\ \hline
    %    3 & 0.6408 & 0.0003 & 0.6313 & 0.0004 && 0.6365 & 0.0135
    %\end{tabular}
    \begin{tabular}{c|c|c|c|c}
        JJ\# & $R\,$ [$\Omega$] & $\Delta R\,$ [$\Omega$] & $I_0\,$ [$µ\text{A}$] & $\Delta I_0\,$ [$µ\text{A}$]\\ \hline
        1 (kein Shunt) & 12.8304 & 0.0106 & 92.8192 & 2.6153 \\ \hline
        2 (Shunt groß) &  6.0960 & 0.0088 & 83.4961 & 4.4669 \\ \hline
        3 (Shunt klein)&  0.6365 & 0.0135 & 97.9463 & 4.1304
    \end{tabular}
    \caption{Ergebnisse für die Widerstände, Cooperströme}
    \label{JKO:tab:RundI0}
\end{table}

%DONE Niob Energielücke
Bei Kontakt Nr. 1 (\autoref{JKO:fig:JJ2}) haben wir rechts und links der Sprungstelle bei $U_g \approx 2.5\,\text{mV}$ Geraden $I_l=a+bU$ und $I_r=c+dU$ an die Daten angepasst. Damit kann man nun die Sprungspannung als den Schnittpunkt der zwei Geraden berechnen. Der Fehler ergibt sich mit der Gauß'schen Fehlerfortpflanzng aus der Fehlermatrix der linearen Regression: 
\begin{align*}
    U_g &= \frac{c-a}{b-d} = 2.539 \pm 0.003\, \text{mV}\\
    \Rightarrow E_g &= 2\Delta=U_g \cdot e = 2.539 \pm 0.003 \, \text{meV}
\end{align*}
Der Literaturwert (S. 268, Tabelle 3 aus 'Introduction to Solid State Physics' von Charles Kittel) beträgt $3.05 \text{meV}$, liegt damit also deutlich außerhalb von unserem Fehlerintervall.

%DONE Sprunsgstrom
Bei Kontakt Nr. 2 (\autoref{JKO:fig:JJ2}) erkennt man deutlich die Hysterese. Der Strom bei den innersten Punkten entspricht dem Rücksprungstrom $I_{R}$. Auch hier kann man wieder die Beträge rechts und links mitteln. Das Ergebnis mit stat. Fehler ist:
\begin{equation*}
    I_{R} = 47.75 \pm 1.03 \, \text{µA}
\end{equation*}
%0.0505203   +/-   0.000184631
%0.0442215   +/-   0.000227357 

%DONE McCucumber für R groß ausrechnen, FEhler (nur stat.)
%TODO Kapazität C ausrechnen, Fehler
Hieraus kann man nun den McCumber-Parameter $\beta_C$ und dann die Kapazität $C$ von Kontakt 2 berechnen. Deren Fehler berechnen sich mit der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung.
\begin{align*}
    \beta_C^{(2)} &= \frac{16I_0^2}{\pi^2 I_R^2} = 4.96±0.74 \\
    C &= \frac{\beta_C \Phi_0}{2 \pi I_0 R^2} = 0.53 \pm 0.11 \, \text{pF}
\end{align*}
Hierbei ist $\Phi_0 \approx 2.068 \cdot10^{-15} \, \text{Wb}$ das magnetische Flussquant, eine Naturkonstante.

%DONE Aus C McCucumber für die anderen beiden ausrechnen. Fehler
Wir gehen nun davon aus, dass die Kapazität bei den anderen zwei Kontakten gleich ist, da sie laut Anleitung die gleiche Fläche haben. Dann erhalten wir durch Umstellen der obigen Formel 
\begin{align*}
    \beta_C^{(1)} &= 24.4±5.8 \\ \beta_C^{(3)} &= 0.063±0.019
\end{align*}als McCumber-Parameter für diese beiden Kontakte. Diese Zahlen decken sich mit der in der Theorie erwähnten Bedingung, dass erst ab $\beta_C > 1$ eine Hysterese vorliegt, da diese ja nur für Kontakt 3 unterschritten ist und man hier auch keine Hysterese sieht.

%DONE Nr1
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{03_JKO/JJ1.PNG}
    \caption{Kontakt 1 (kein Shunt, schwarz) mit Geraden (rot) durch die linearen Abschnitte}
    \label{JKO:fig:JJ1}
\end{figure}

%DONE Nr2
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{03_JKO/JJ2.PNG}
    \caption{Kontakt 2 (Shunt groß, schwarz) mit Geraden (rot) durch die linearen Abschnitte}
    \label{JKO:fig:JJ2}
\end{figure}

%DONE Nr3
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{03_JKO/JJ3.PNG}
    \caption{Kontakt 3 (Shunt klein, schwarz) mit Geraden (rot) durch die linearen Abschnitte}
    \label{JKO:fig:JJ3}
\end{figure}





\subsection{Mit Magnetfeld}
Hier haben wir bei den selben drei Kontakten aus dem vorherigen Teil den kritischen Strom $I_C$ in Abhängigkeit vom externen Magnetfeld $B$ vermessen, siehe \autoref{JKO:fig:JJ1_2}, \autoref{JKO:fig:JJ2_2} und \autoref{JKO:fig:JJ3_2}. Die Kurven zeigen generell eine Fraunhofer-Charakteristik, also $I_C \propto \left| \frac{sin(p\cdot B)}{p\cdot B} \right|$. Es gibt aber Abweichungen hiervon, so gehen vor allem die Kurven nicht ganz auf 0. Das kann man damit erklären, dass die erste Josephson-Gleichung nur näherungsweise gilt, und es hier noch weitere Terme gibt, die in der Theorie nicht berücksichtigt wurden.

%DONE nullstellen des fits bestimmen, B an dieser stelle -> London -> mitteln
Der magnetische Fluss $\Phi = B/A$ durch den Kontakt ist bei den Nullstellen von $I_C$ ein ganzzahliges Vielfaches von $\Phi_0$. Die Fläche $A$ kann für kurze Kontakte approximiert werden als $A=2 \lambda_L a$ mit der Seitenlänge $a=4 \, \text{µm}$. Damit haben wir einen Ausdruck für die London-Eindringtiefe $\lambda_L$:
\begin{equation*}
    \lambda_L = \frac{n \Phi_0}{2Ba}
\end{equation*}
Wobei $n \in \mathbb{N}$ gleich der Ordnung der Nullstelle ist. Wir haben nur die Daten bis $n=2$ verwendet, da die dritten Nebenmaxima nicht mehr vollständig aufgenommen wurden. In \autoref{JKO:tab:london} sind die verwendeten $B_n$ und die gemittelten Ergebnisse für die $\lambda_L $ zusammengefasst. Aus diesen kann man wiederum die Josephson-Eindringtiefe $\lambda_J$ berechnen, nach der Formel
\begin{equation*}
     \lambda_J^2 = \frac{a^2 \Phi_0}{4 \pi \mu_0 I_0 \lambda_L}
\end{equation*}
%DONE Josephson eindringtiefe
Wobei das entsprechende $I_0$ aus \autoref{JKO:tab:RundI0} gewählt wurde. Man erkennt, dass die Näherungsbedingung für kurze Kontakte $a << 4\lambda_J$ erfüllt ist, da $\frac{4\lambda_J}{a} \approx 15$.
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
        JJ\# & $B_1\,$ [mT] & $B_2$ [mT] & \lambda_L [nm] & \Delta \lambda_L [nm] & \lambda_J [µm] & \Delta \lambda_J [µm]\\ \hline
        1 (kein Shunt) & 2.55 & 5.11 & 97.88 & 0.16 & 14.94 & 0.22 \\ \hline 
        2 (Shunt groß) & 2.59 & 5.19 & 96.28 & 0.12 & 15.88 & 0.43 \\ \hline 
        3 (Shunt klein)& 2.69 & 5.38 & 93.04 & 0.17 & 14.91 & 0.33
    \end{tabular}
    \caption{Gemittelte Werte von $\lambda_L$ (aus den Nullstellen der Fits bestimmt, Fehler aus Unsicherheit der Fits und Gauß'scher Fehlerfortpflanzung)}
    \label{JKO:tab:london}
\end{table}
%DONE Nr1
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{03_JKO/JJ1_2.PNG}
    \caption{Kritischer Strom bei Kontakt 1 (kein Shunt, schwarz) in Abhängigkeit vom Magnetfeld, gefittet an Fraunhofer-Funktion (rot)}
    \label{JKO:fig:JJ1_2}
\end{figure}

%DONE Nr2
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{03_JKO/JJ2_2.PNG}
    \caption{Kritischer Strom bei Kontakt 2 (Shunt groß, schwarz) in Abhängigkeit vom Magnetfeld, gefittet an Fraunhofer-Funktion (rot)}
    \label{JKO:fig:JJ2_2}
\end{figure}

%DONE Nr3
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{03_JKO/JJ3_2.PNG}
    \caption{Kritischer Strom bei Kontakt 3 (Shunt klein, schwarz) in Abhängigkeit vom Magnetfeld, gefittet an Fraunhofer-Funktion (rot)}
    \label{JKO:fig:JJ3_2}
\end{figure}

\newpage
\subsection{Mit Mikrowellenstrahlung: Shapiro-Stufen} %JODEL MEIN DÖDEL
Nachfolgende Abbildungen zeigen die IV-Kennlinien unter Mikrowelleneinstrahlung. Dabei wurden die Frequenzen $9 \,\SI{}{GHz}$ und $15\, \SI{}{GHz}$ gewählt, sowie für jeden der beiden Fälle verschiedene Strahlungsleistungen. Deutlich zu erkennen sind die Shapiro-Stufen, die wir jedoch nur als jene identifizieren, die in allen Kurven der jeweiligen Frequenz auftreten, also keine Zwischenstufen. Diese treten nämlich aufgrund von anderen Effekten wie z.B. Abweichungen von Gleichung \eqref{jko::js}.\\
Zuerst werden die Spannungsabstände $\Delta V$ der Shapiro-Stufen bestimmt.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{03_JKO/9GHz.jpg}
    \caption{$I$-$V$-Diagramm für Mikrowellenstrahlung von $9 \,\SI{}{GHz}$ mit verschiedenen Strahlungsleistungen. Shapiro-Stufen sind deutlich zu erkennen.}
    \label{JKO:fig:JJ3_Shap9}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{03_JKO/15GHz.jpg}
    \caption{$I$-$V$-Diagramm für Mikrowellenstrahlung von $15 \,\SI{}{GHz}$ mit verschiedenen Strahlungsleistungen. Shapiro-Stufen sind deutlich zu erkennen.}
    \label{JKO:fig:JJ3_Shap15}
\end{figure}
Aus Gleichung \eqref{jko_shap_eq} lässt sich aus den Abständen der Stufen $\Delta V$ das magnetische Flussquant $\Phi_0$ über
\begin{equation}
    \Phi_0 = \frac{\Delta V}{f}
    \label{jko_sap_eq2}
\end{equation}
bestimmen. Das Ablesen und Bilden des arithmetischen Mittels der Stufenbreiten $\Delta V$ findet man in \autoref{JKO:tab:shaptab2}.
%Damit wurden folgende Werte in \autoref{JKO:tab:shaptab2} berechnet.
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c}
        $\Delta V$ [V] für $15\, \SI{}{GHz}$ & $\Delta V$ [V] für $9\, \SI{}{GHz}$\\ \hline
        $3.03 \cdot 10^{-5}$ & $1.52 \cdot 10^{-5}$\\
        \hline
        $1.79 \cdot 10^{-5}$ & $1.87 \cdot 10^{-5}$\\
        \hline
        $4.42 \cdot 10^{-5}$ & $1.85 \cdot 10^{-5}$\\
        \hline
        $3.11 \cdot 10^{-5}$ & $1.87 \cdot 10^{-5}$\\
    \end{tabular}
    \caption{Aus Beziehung \eqref{jko_sap_eq2} berechnete Werte für das Flussquant}
    \label{JKO:tab:shaptab2}
\end{table}
Der Mittelwert für $15 \,\SI{}{GHz}$ ergibt $\Delta V_{15} \approx 3.07 \cdot 10^{-5} \,\SI{}{V}$ mit der Standardabweichung $6.23 \cdot 10^{-6} \, \SI{}{V}$,  für $9 \,\SI{}{GHz}$ ergibt $\Delta V_{9} \approx 1.86 \cdot 10^{-5} \,\SI{}{V}$ mit der Standardabweichung $1.75 \cdot 10^{-6} \, \SI{}{V}$.\\
Damit wurden folgende Werte in \autoref{JKO:tab:shaptab1} berechnet.
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c}
        f [GHz] & $\Phi_0$ [$10^{(-15)}$ Wb] & $\Delta \Phi_0$ [$10^{(-15)}$ Wb] \\ \hline
        15 & 2.050 & 0.41 \\
        \hline
        9 & 2.068 & 0.19 \\
    \end{tabular}
    \caption{Aus Beziehung \eqref{jko_sap_eq2} berechnete Werte für das Flussquant}
    \label{JKO:tab:shaptab1}
\end{table}
Ein Vergleich mit der Literatur, welche einen Wert von $2.067833831\cdot10^{-15} \,\SI{}{Wb}$ angibt [\ref{jko_quelle1}], zeigt, dass beide Werte sehr nahe an diesem Richtwert liegen. Der experimentell bestimmte Wert für das Flussquant $\Phi_0$ liegt bei der Messung von $15 \,\SI{}{GHz}$ deutlich näher am Literaturwert als jener bei der Messung von $9\, \SI{}{GHz}$. Ein Mittel der beiden gefundenen Werte ergibt sich zu
\begin{align}
    \Phi_0 = \left(2.059 \pm 0.41\right) 10^{(-15)} \,\SI{}{Wb},
\end{align}
wobei konservativ der größere Fehler der beiden Werte angenommen wurde. Es fällt auf, dass der Literaturwert innerhalb des Fehlerintervalls liegt. Was noch bemerkenswerter ist, ist die Tatsache, dass selbst für das kleinere Fehlerintervall von $10^{(-15)} \,\SI{}{Wb}$ der experimentell gefundene Wert immer noch innerhalb der Fehlergrenzen mit dem Literaturwert übereinstimmen würde. \\
Bei festgehaltener Frequenz der Strahlung bewirkt eine Erhöhung der Leistung für die ersten Stufen eine Verringerung des Sprunges im Strom $I$, wie in Abbildung \ref{JKO:fig:JJ3_Shap15} und \ref{JKO:fig:JJ3_Shap9} zu sehen ist.




\newpage





\section{Literatur}

\begin{itemize}
    \item \label{jko_quelle1} http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?flxquhs2e | Aufgerufen am 17.05.2021, 18:09 Uhr
    
    \item \label{jko_quelle2} Anleitung Josephson-Kontakte Physikalisches Institut Universität Tübingen, Version August 2017, Dieter Kölle, adaptiert aus W. Buckel, Supraleitung, VCH Weinheim, 5. Aufl. (1994) | Aufgerufen am 17.05.2021, 20:05 Uhr
\end{itemize}




\end{document}