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\begin{document}

\begin{titlepage}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}
\center
\textsc{\LARGE Universität Tübingen}\\[1.5cm] 
\textsc{\Large F-Praktikum}\\[0.5cm] 
\textsc{\large NMR}\\[0.5cm] 
\HRule \\[0.4cm]
{\huge \bfseries Magnetische Kernresonanz}\\[0.4cm] 
Version 1
\HRule \\[1.0cm]
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushleft} \large
        \emph{Von:} Gruppe 22\\
        \underline{Simon Fischer}\newline
        Fabian Kraus
    \end{flushleft}
\end{minipage}
~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushright} \large
        \emph{Betreuer:}\\
        David Blum
    \end{flushright}
\end{minipage}\\[2cm]
{\large Durchgeführt: 11.06.2021}\\
{\large Version 1: \today}\\
\tableofcontents
\end{titlepage}


\section{Einleitung}
Magnetische Kernspin-Resonanzen haben eine große Bedeutung in der Medizin als auch in der Materialforschung. Manche Atomkerne besitzen ein intrinsisches magnetisches Moment aufgrund ihres Spins. Bringt man die Kerne also in ein starkes Magnetfeld, so richten sie sich entlang (oder entgegen) der Feldlinien aus. Legt man nun zusätzlich noch ein oszillierendes Magnetfeld an, so emittieren die Kerne bei charakteristischen Frequenzen, die auch von der Stärke des statischen Feldes abhängen, ein elektromagnetisches Signal, das man auffangen kann.

In diesem Versuch untersuchen wir drei Proben: Leichtes Mineralöl, Teflon, und FC-43 auf Relaxationszeiten, räumliche Struktur und chemische Vershiebung.

\section{Theoretischer Hintergrund}
\subsection{Bedingungen an Kerne}
Nicht jedes Atom ist geeignet, um Untersuchungen des Kernspins durchzuführen. Zunächst sollte die Elektronenhülle einen verschwindenden Gesamtdrehimpuls haben. Das kann man verstehen, indem man das Bohr'sche mit dem Kern-Magneton vergleicht:
\begin{equation}
    \mu_{B/K}\,=\,\frac{\hbar e}{2m_{e/p}}
\end{equation}
Da das Proton sehr viel schwerer ist als das Elektron, wird bei nichtverschwindendem Hüllenmoment dieses das Kermoment dominieren, und letzteres im Experiment nicht messbar sein.\\

Wenn diese Voraussetzung erfüllt ist, muss natürlich noch der Kernspin selbst nicht null sein, um NMR betreiben zu können. Das ist z.B. für $\ce{^{16}O}$ nicht der Fall, für $\ce{^{17}O}$ aber schon. Woran liegt das? Bei komplett gefüllten Schalen im Kern (Stichwort: Magische Zahlen) addieren sich die Drehimpulse immer zu null. Fügt man nun noch ein einzelnes Nukleon dazu oder entfernt eines, so ist der Gesamtdrehimpuls des Kerns gleich dem Drehimpuls dieses Nukleons, wie bei Elektronen in der Hülle. Das funktioniert allerdings nur ausgehend von Kernen mit gerader Anzahl an Protonen und Neutronen - der allgemeine Fall ist komplizierter.
    
\subsection{Magnetisches Moment (Klassisch)}\label{nmr:sec:classic}
In der Maxwell-Theorie erzeugt ein Teilchen mit Drehimpuls $I$ ein magnetisches Moment, das linear zu $I$ ist. Die Proportionalitätskonstante $\gamma$ nennt man das Gyromagnetische Verhältnis.
\begin{equation}
    \Vec{\mu}\,=\,\gamma\Vec{I}
\end{equation}
Platziert man ein solches Moment in einem konstanten Magnetfeld $B_0$, so wirkt ein Drehmoment
\begin{equation}
    \Vec{T}\,=\,\Vec{\mu}\times\Vec{B_0} 
\end{equation}
Da Drehmoment die zeitliche Änderung von Drehimpuls ist, kann man also die folgende Differenzialgleichung für $I$ aufstellen:
\begin{equation}
    \Vec{T}\,=\,\frac{\mathrm{d}\Vec{I}}{\mathrm{d}t}\,=\,\gamma\Vec{I}\times\Vec{B_0}
\end{equation}
Hier bietet es sich an, in ein co-rotierendes Koordinatensystem zu transformieren. Wenn die Rotationsgeschwindigkeit $\omega$ ist, dann kann man die DGL hier schreiben als
\begin{equation}\label{nmr:eq:klassik}
    \frac{\mathrm{d}\Vec{I}}{\mathrm{d}t}\,=\,\Vec{I}\times\left(\Vec{\omega}\,+\,\gamma\Vec{B_0}\right)
\end{equation}
Hier erkennt man nun sofort, dass der Drehimpuls zeitlich konstant ist, wenn $\Vec{\omega}$ antiparallel zu $\Vec{B_0}$ steht und $\omega\,\equiv\,\mid\Vec{\omega}\mid\,=\,\gamma\mid\Vec{B_0}\mid\,\equiv\,\omega_L$. Man nennt $\omega_L$ die Lamor-Frequenz.
    
\subsection{Magnetisches Moment (Quantenmechanisch)}
In der QM wird der Drehimpuls zu einem Vektoroperator mit nicht-kommutierenden Komponenten und diskreten Eigenwerten, z.B. der $z$-Komponente:
\begin{align}
    I_z\,&=\,\hbar m_I \\\
    m_I\,&\in\,\left\{-I,\dots,I\right\}
\end{align}
Das magnetische Moment ist immer noch proportional zum Drehimpuls:
\begin{equation}
    \mu_I\,=\,g_I\cdot\mu_K\cdot I
\end{equation}
%Ein solches magnetisches Moment hat im Feld $B_0$ die potentielle Energie
%\begin{equation}
%    W_m(m_I)\,=\,-\gamma\cdot m_I\cdot\hbar\cdot B_0
%\end{equation}
Im Versuch haben wir aber nicht ein einzelnes Atom, sondern eine sehr große Zahl. Wir dürfen damit das Ehrenfest'sche Theorem benutzen: Für große Quantenzahlen gehen die Gesetze der Quantenmechanik in die klassischen über. Wenn wir die Magnetisierung $\Vec{M}$ als Vektorsumme aller Drehmmomente pro Volumen definieren, so gilt für dieses $\Vec{M}$ also die klassische Gleichung \eqref{nmr:eq:klassik}:
\begin{equation}\label{nmr:eq:dm}
    \frac{\mathrm{d}\Vec{M}}{\mathrm{d}t}\,=\,\Vec{M}\times\left(\Vec{\omega}\,+\,\gamma\Vec{B_0}\right)\,\equiv\,\Vec{M}\times\Delta\Vec{\omega}
\end{equation}
Wir haben aber durch die große Anzahl an Atomen auch eine Komplikation gewonnen: Die Atome interagieren mit ihren Nachbarn. Das Führt zu Effekten, die wir im nächsten Abschnitt beleuchten werden.
    
\subsection{Wechselwirkungen, Relaxation}
Zunächst ist es wichtig, dass die Atome aufgrund von thermischen Bewegungen immer eine leichte Änderung in ihrer Ausrichtung haben. Dadurch sind auch bei sehr starken Feldern nicht alle Spins zu 100\% fixiert, sondern durch Rauschen gestört. Dieses Rauschen bewirkt einen Drift zurück zum Equilibrium, was man auch als Relaxation bezeichnet.\\

Es gibt zwei Interaktionen, die zur Relaxation beitragen. 
Bei der Spin-Spin Wechselwirkung interagieren benachbarte Atome direkt über ihren Spin. Dieser erzuegt ein magnetisches Dipolfeld, was das Gesamtfeld nicht mehr homogen macht. Diese Relaxation ist mit der longitudinalen Komponente des Rauschens verbunden - die unterschiedliche Magnetfeldstärke bewirkt leicht unterschiedliche Präzessionsfrequenzen, was mit der Zeit zu Dekohärenz führt.\\

Bei der Spin-Gitter Wechselwirkung dahingegen kann das transversale Rauschen Übergänge zwischen verschiedenen $m_I$ bewirken. Die hierfür benötigte Energie wird dabei aus dem Gitter (bedeutet hier: die thermodynamischen Freiheitsgrade) entnommen bzw. wieder an dieses abgegeben. %Die Besetzungsahrscheinlichkeit dieser Zustände entspricht der Boltzmann-Verteilung:
%\begin{equation}
 %   N(m_I)\,\propto\,e^{-W_m(m_I)/kT}
%\end{equation}
Mit der Zeit wird sich somit ein thermisches Equilibrium der $z$-Komponent einstellen. \\
    
\subsubsection{Longitudinale Relaxation}
Bei longitudinaler Relaxation kehrt die $z$-Komponente von $M$ mit der Zeit zu ihrem thermischen Equilibrium zurück. 
Nur die Spin-Gitter-WW trägt hier bei. 
Man kann zeigen, dass der Gleichgewichtszustand gegeben ist durch
\begin{equation}
    M_0\,=\,n_0\mu_I\frac{\mu_I B_0}{kT}\cdot\frac{I\,+\,1}{3I}
\end{equation}
Und der zeitliche Verflauf hin zu diesem Zustand ist gegeben durch
\begin{equation}
    M_z(t)\,=\,M_0\left(1\,-\,Ae^{-t/T_1}\right)\,
    \Rightarrow\, \frac{\mathrm{d}M_z}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{M_0\,-\,M_z}{T_1}
\end{equation}
wobei $A$ eine aus den Anfangsbedingungen zu bestimmende Konstante ist, $T_1$ nennt man die longitudinale Relaxationszeit.
    
\subsubsection{Transversale Relaxation}
Hierzu tragen sowohl die Spin-Spin als auch die Spin-Gitter-WW bei. Jedes mal, wenn ein Atom wie oben besprochen zu einem Übergang angeregt wird, ist dieses Atom nicht mehr in Phase mit den anderen. Das führt zu einem exponentiellen Zerfall der transversalen Komponente von $M$:
\begin{equation}
    M_R(t)\,=\,M_R(0)\cdot e^{-t/T_2}\,\Rightarrow\,\frac{\mathrm{d}M_R}{\mathrm{d}t}\,=\,-\frac{M_R}{T_2}
\end{equation}
mit $T_2$, der transversalen Relaxationszeit. \\
Setzt man noch das frühere Ergebnis  $\frac{\mathrm{d}\Vec{M}}{\mathrm{d}t}\,=\,\Vec{M}\times\Delta\Vec{\omega}$ ein, erhält man die Gleichungen:
\begin{equation}
    \begin{split}
        \frac{\mathrm{d}M_u}{\mathrm{d}t}\,&=\,-\frac{M_u}{T_2}\,+\,\Delta\omega\cdot M_v \\\
        \frac{\mathrm{d}M_v}{\mathrm{d}t}\,&=\,-\frac{M_v}{T_2}\,-\,\Delta\omega\cdot M_u\\\
        \frac{\mathrm{d}M_z}{\mathrm{d}t}\,&=\,\frac{M_0\,-\,M_z}{T_1}
    \end{split}
\end{equation}
Man sieht, dass $M_z$ nicht an die anderen beiden Komponenten gekoppelt ist, und wie vorher bleibt. Die $u,v$ Komponenten sind allerdings gekoppelt. Ihre Lösungen sind
\begin{equation}\label{transverse magnetization}
    \begin{split}
        M_u(t)\,&=\,\left(M_u(0)\cdot\cos(\Delta\omega t)\,+\,M_v(0)\cdot\sin(\Delta\omega t)\right)\cdot e^{-t/T_2} \\\
        M_v(t)\,&=\,\left(M_v(0)\cdot\cos(\Delta\omega t)\,-\,M_u(0)\cdot\sin(\Delta\omega t)\right)\cdot e^{-t/T_2}
    \end{split}
\end{equation}
Die Magnetisierung prezediert also mit einer exponentiell abfallenden Amplitude und nähert sich für große Zeiten $M_0 e_z$ an, unabhängig von den Anfangsbedingungen.
    
\subsection{Änderung der Magnetisierung mit Pulsen}
Um die Probe aus dem Equilibrium zu bringen, legen wir ein oszillierendes Feld senkrecht zu dem statischen an. Wählt man für dieses Feld $B_1$ die Frequenz $\omega_1 \approx \omega_L$, so erhält man wieder \eqref{nmr:eq:dm}:
\begin{equation}
    \frac{\mathrm{d}\Vec{M}}{\mathrm{d}t}\,=\,\Vec{M}\times\gamma\begin{pmatrix}B_1\\0\\0\end{pmatrix}
\end{equation}
Auch die Lösung ist die gleiche wie dort. Sie zeigt, dass $M$ mit $\omega_1\,\equiv\,\gamma B_1$ um die $u$-Achse rotieren wird. Zeigt $M$ zum Start in $z$-Richtung, so wird er sich von $+z$ nach $+v$ nach $-z$ nach $-v$ und wieder zurück zu $+z$ bewegen. Legt man also $B_1$ nur für eine Zeit $\tau$ an, so kann man steuern, wo $M$ endet, nämlich in einem WInkel $\Theta\,=\,\omega_1\tau\,=\,\gamma B_1\tau$ zur$u$-Achse:
\begin{equation}
    \begin{split}
        \Theta\,=\,\frac{\pi}{2}\,&\Rightarrow \text{$\pi/2$ Puls der $M$ von $\pm z$ in die $u-v$ Ebene dreht} \\\
        \Theta\,=\,\pi\,&\Rightarrow \text{$\pi$ Puls der $M$ von $\pm z$ nach $\mp z$ oder von $\pm v$ to $\mp v$ dreht}
    \end{split}
\end{equation}
Mit verschiedenen Kombinationen dieser Pulse werden wir im Experiment $T_{1,2}$ messen. Hierbei muss man Resonanzfrequenz nicht genau treffen, wenn $B_1$ stark genug ist, da im rotierenden Bezugssystem $M$ um das effektive Feld $B_{eff}$ rotiert:
\begin{equation}
    \Vec{B}_{eff}\,=\,\begin{pmatrix}B_1\\0\\B_0\,-\,\frac{\omega_S}{\gamma}\end{pmatrix}
\end{equation}
Also zeigt für $B_1\,\gg\,\left\vert\frac{\omega_L\,-\,\omega_S}{\gamma}\right\vert$ das effektive Feld in $u$-Richtung und $M$ rotiert mit $\omega_{eff}\,\approx\,\omega_1$.\\
    
%\subsection{Free Induction Decay (FID)}
%What we actually measure in the experiment is called a free induction decay (FID). When there is a transverse component of the magnetization and no oscillating field $B_1$ is applied, then the transverse component is oscillating and decays as seen in \ref{transverse magnetization}. In a coil near the sample this produces an induction voltage, and this signal can be described by  
%\begin{equation}
%    U_S(t)\,=\,C\cdot M_R\cdot e^{-t/T_2}\cdot \cos(\omega_ t\,+\,\phi)
%\end{equation}
%Where $C$ is a constant specific to the coil one uses and $\phi$ is the initial phase of the transverse magnetization. It is important to note that this only works for transverse magnetization, not for the longitudinal one. To measure a longitudinal magnetization one needs to apply for example a $\frac{\pi}{2}$-pulse to flip the magnetization vector in the $u-v$-plane, transforming longitudinal into transverse magnetization.
    
\newpage
\section{Versuchsdurchführung}
Bevor Messungen an den Proben durchgeführt werden konnten, wurde der Messaufbau kalibriert. Hierzu wurde etwa $40$ min. vor Beginn des Versuches die Temperaturregulierung eingeschaltet, welche das Magnetfeld des Permanentmagneten stabilisiert.\\
Zur Kalibrierung der Messung wurde eine zweifach gewundene Leiterschleife in den Probenschacht gehängt und an den Oszillator angeschlossen. Nun wurde die Kapazität der Kondensatoren so verstellt, dass der Schwingkreis der Sendespule auf die Startfrequenzen der Probekerne gestimmt wurden. Hierbei wurde für die Mineral Oil Light (MOL) sowie Teflon (beide enthalten Wasserstoff) die Startwerte $f_{Mol} = 21.55 \unit{MHz}$ und für FC-43 $f_{FC-43} = 20.20 \unit{MHz}$ gewählt. Nachdem die Kondensatoren so eingestellt waren, dass man ein maximales Signal in der Test-Leiterschleife bekommen hat, wurde die jeweilige Probe in den Probenschlitz des Permanentmagneten geführt.
\subsection{Experiment mit Mineral Oil Light}
Zur Kalibrierung der MOL-Probe wurde die Pulszeit solange geändert, bis so gut wie kein Signal mehr zu sehen war. Diese Zeit entspricht nun in etwa die eines $\pi$ Pulses. Nach Einstellen eines $\frac{\pi}{2}$ Pulses wurde dann die Sendefrequenz, welche auf die Probe gestrahlt wird, so weit verändert, bis keine Schwebung mehr zu sehen war. Somit war die grobe Lamorfrequenz $\omega_L$ gefunden. Die Gradientenspulen wurden dann so eingestellt, dass der Zerfall möglichst langsam war. Nun konnte wieder Überprüft werden, ob der gefundene $\pi$-Puls und die Lamorfrequenz noch passen. Falls nicht wurden diese entsprechend angepasst.\\
Für die MOL-Probe selber wurde zunächst der freie Induktionsabfall aufgenommen. Daraufhin wurden Aufnahmen gemacht um die longitudinale Relaxationszeit $T_1$ zu bestimmen. Hierzu wurde die Sequenz
\begin{equation*}
    \pi\,\rightarrow\,\text{$t$ (warten)}\,\rightarrow\,\frac{\pi}{2}\,\rightarrow\,\text{FID}
\end{equation*}
für 20 verschiedene Wartezeiten $t$ wiederholt. Dies ist das Inversion-Recovery-Verfahren: Der $\pi$-Puls dreht $M$ einmal komplett um, wonach wir die zeitliche Evolution (die Rückkehr zum Equilibrium) der longitudinalen Komponente zu beliebigen Zeiten $t$ messen können, indem wir den Zustand zu diesem Zeitpunkt in die $u-v$-Ebene drehen und dann wie oben ein FID aufnehmen. \\

Zur Bestimmung der transversalen Relaxationszeit $T_2$ wurde die bessere Aufnahme mit der Meiboom-Gill-Sequenz gemacht:
\begin{multline*}
    \frac{\pi}{2}\,\rightarrow\,t\,\rightarrow\,\pi\,\rightarrow\,t\,\rightarrow\,\text{FID}
    \rightarrow\,t\,\rightarrow\,\pi\,\rightarrow\,t\,\rightarrow\,\text{FID}
\end{multline*}
Theoretisch könnte man einfach nach einem einzelnen $\frac{\pi}{2}$-Puls ein FID aufnehmen, um $T_2$ zu bestimmen. Da unser Feld aber nicht perfekt homogen ist, ist dies nicht möglich, weil bei uns die Lamor-Frequenz dann vom Ort abhängt und es schneller und langsamer rotierende Spins gibt. Wenn die schnellen gerade die langsamen "überrunden" (beide eine halbe Umdrehung relativ zur Durchschnittsfrequenz gemacht haben) heben sich die transversalen Komponenten gegenseitig auf. Um den Zerfall aufgrund der Spin-Wechselwirkungen zu messen, setzt man nach der Zeit $t$ zunächst noch einen $\pi$-Puls an, um gerade die schnellsten mit den langsamsten Spins zu tauschen. Wenn man nun noch mal genau gleich lang wartet, kann man die Magnetisierung messen, wie sie wäre, wenn das Feld homogen wäre. Man nennt dies das Spin-Echo Verfahren.

\subsection{Ortsauflösung der Teflon-Probe}
Da bei der Teflon-Proben wie bei der Mol-Probe die H-Atome untersucht werden sollten, konnte die gleiche Kalibrierung wiederverwendet werden. Die Teflon-Probe bestand aus zwei räumlich getrennten Platten. Es wurde lediglich die Probe getauscht und ein Fast-Fourier-Transformation (FFT)-Spektrum aufgenommen. Daraus kann man Informationen über den räumlichen Aufbau der Probe gewinnen.

\subsection{Experiment mit FC-43}
Bei der $FC-43$ Probe sollten die Fluratome untersucht werden. Hierzu wurde erneut eine Kalibration durchgeführt. Im Anschluss wurde erneut ein FID und ein FFT-Spektrum aufgenommen.
\newpage

\section{Auswertung}

\subsection{MOL-Probe}
Bei der MOL-Probe wurde einzeln der freie Induktionsabfall, die longitudinale und die transversale Relaxationszeit bestimmt. Im Folgenden sind die drei Messreihen, sowie die Auswertung derer zu finden.

\subsubsection{Freier Induktionsabfall}
Nachfolgend ist der freie Induktionsabfall (FDI) nach einem $\frac{\pi}{2}$-Puls zu sehen.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=150mm]{06_NMR/F0045CH1_plot_1.png}
    \caption{Freier Induktionsabfall (FDI) der MOL-Probe}
    \label{nmr_mol_fdi}
\end{figure}
Durch Suchen des Minimums des Signals wurde die Einstrahldauer $\tau$ für den $\pi$-Puls zu
\begin{equation}
    \tau_{\pi}=10.72\,\SI{}{\mu s}
\end{equation}
bestimmt und somit für den $\frac{\pi}{2}$-Puls die Dauer
\begin{equation}
    \tau_{\frac{\pi}{2}}=\frac{\tau_{\pi}}{2}=5.36\,\SI{}{\mu s}.
\end{equation}
Darüberhinaus wurde die Schwebung eliminiert durch das Justieren der Frequenz. Bei der Lamorfrequenz verschwindet diese völlig, welche sich in unserem Versuch zu
\begin{equation}
    \nu_{L}=21.46026 \, \SI{}{MHz}
\end{equation}
ergab, was nahe an den $22\, \SI{}{MHz}$ liegt, welche theoretisch zu erwarten waren.

\newpage

\subsubsection{Longitudinale Relaxationszeit}
Mithilfe der Inversion-Recovery Methode lässt sich die longitudinale Relaxationszeit $T_1$ bestimmen.
Dazu wird die theoretische Kurve
\begin{equation}
    M_z (t) = M_0\left( 1-A\exp{\left[-\frac{t}{T_1}\right]} \right)
\end{equation}
an die gemessenen Punkte angepasst, was in folgendem Diagramm zu sehen ist.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=150mm]{06_NMR/Inversion_Recovery_plot_1.png}
    \caption{Aufgenommene Anfangsspannungen in Volt gegen die Relaxionszeit $t$ in Sekunden. In blau ist der Fit zu sehen.}
    \label{nmr_mol_fdi}
\end{figure}
Die Parameter $M_0$, $A$ und $T_1$ wurden wie folgt bestimmt:
\begin{align}
    M_0 &= (0.5757 \pm 0.1192)\,\SI{}{V}\\
    A &= 1.798\pm 0.18\\
    T_1 &=(45.01\pm8.46)\,\SI{}{ms}.
\end{align}
Diese Werte liegen im erwarteten Bereich, da man theoretisch für $A\approx2$ erwartet, für $M_0$ in etwa $-0.5$ und ein $T_1$ im Bereich Millisekunden. Alle bestimmten Parameter liegen damit nahe an der Erwartung.






\newpage

\subsubsection{Transversale Relaxationszeit}
Die transversale Relaxationszeit kann über die Einhüllende des Signals beim Spincho bestimmt werden. Dazu wurde zuerst die Carr-Purcell-Sequenz genutzt, anschließend die Meiboom-Gill-Sequenz. Letztere liefert deutlich bessere Ergebnissse, da unerwünschte Dephasierung durch eine Änderung der Einstrahlungsrichtung des $\pi$-Pulses beinahe kompensiert wird. Damit sind bei der Meiboom-Gill-Sequenz mehr Maxima zu erkennnen, was eine bessere Anpassung an die Daten und letztlich an die Realität liefert. Theoretisch erwartet man, dass die transversale Magnetisierung exponentiell abfällt wie
\begin{equation}
    M_R (t) = M_R (0)\exp{\left[ - \frac{t}{T_2} \right]}.
    \label{nmr_M_R}
\end{equation}
Es gilt nun die transversale Relaxationszeit $T_2$ zu bestimmen.
\\
[0.5pt]\\
\noindent \textbf{Carr-Purcell-Sequenz}\\
[0.5pt]\\
\noindent Wir starten mit der Carr-Purcell-Sequenz (im Folgenden kurz CPS). Nachfolgend sind die aufgenommenen Daten als rote Datenpunkte zu erkennen.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=150mm]{06_NMR/CPS_1.png}
    \caption{Aufgenommene Spannungen in Volt gegen die Zeit $t$ in Sekunden.}
    \label{nmr_cps_1}
\end{figure}
Es ist bereits zu erkennen, dass die Extrema in ihrer Intensität exponentiell abnehmen. Um dies zu verifizieren wurde der Betrag aufgezeichnet, um mehr Datenpunkte zu erhalten. Daraufhin wurden die Messdaten logarithmiert und für alle Maxima ein Fit, der aus Beziehung \eqref{nmr_M_R} resultiert, bestimmt. In \autoref{nmr_cps_2} sind die absoluten Werte mit logarithmischer Skala dargestellt. In blau sind die ausgewählten Maxima zu erkennen.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=150mm]{06_NMR/CPS_3.png}
    \caption{Logarithmierte Minima und Maxima ohne Fit der MOL-Probe mit CPS.}
    \label{nmr_cps_2}
\end{figure}
Diese Datenpunkte lassen sich nun durch eine Gerade approximieren, welche in \autoref{nmr_cps_3} zu sehen ist.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=150mm]{06_NMR/CPS_4.png}
    \caption{Fit der Einhüllenden für die MOL-Probe mit CPS.}
    \label{nmr_cps_3}
\end{figure}
Für den gewünschten Parameter $T_2$ finet man
\begin{align}
    T_2 =& (22.03\pm 0.396)\,\SI{}{ms}\\
    M(R)=& (0.6515\pm 0.0651)\,\SI{}{V}.
\end{align}
Die berechneten Werte liegen in der erwarteten Größenordnung. Die Fehler sind auffallend klein, was von der manuellen Auswahl der Datenpunkte aus \autoref{nmr_cps_1} stammen könnte.\\
[0.5pt]\\
\noindent \textbf{Meiboom-Gill-Sequenz}\\
[0.5pt]\\
\noindent Wir betrachten nun die MOL-Probe mit der Meiboom-Gill-Sequenz (im Folgenden kurz MGS). Nachfolgend sind die aufgenommenen Daten in rot zu erkennen.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=150mm]{06_NMR/MBS_1.png}
    \caption{Datenpunkte für die MOL-Probe mit MGS. Zur Veranschauilichung wurden die Datenpunkte zusätzlich verbunden, was keinesfalls physikalisch sinnvoll ist, aber zu besseren Visualisierung dient.}
    \label{nmr_mgs_1}
\end{figure}
Erneut wurden die Maxima ausgewählt, wie in folgendem Schaubild zu sehen ist.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=150mm]{06_NMR/MBS_2.png}
    \caption{Datenpunkte für die MOL-Probe mit MGS, für den folgenden Fit ausgewählte Punkte in blau.}
    \label{nmr_mgs_1}
\end{figure}
\noindent Der Fit für die blauen Datenpunkte ergibt folgendes Schaubild.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=150mm]{06_NMR/MBS_3.png}
    \caption{Datenpunkte für die MOL-Probe mit MGS, für den folgenden Fit ausgewählte Punkte in blau.}
    \label{nmr_mgs_1}
\end{figure}
Die Analyse liefert die Werte
\begin{align}
    T_2 =& (47.94\pm 2.24)\,\SI{}{ms}\\
    M(R)=& (0.4986\pm 0.004)\,\SI{}{V}.
\end{align}
Erneut liegen beide Ergebnisse im erwarteten Bereich der Größenordnung und können damit als sinnvoll angesehen werden. Mit der MOL-Methode findet man eine deutliche längere Relaxationszeit $T_2$, was zu erwarten war, da der zusätzliche Fehler der CP Methode zu einer schnelleren Dephasierung führt.

\subsection{Teflon-Probe}
Es wurde ein FFT-Spektrum für die Teflon aufgezeichnet, welches in \autoref{nmr_teflon_1} zu sehen ist.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=150mm]{06_NMR/Teflon_1_plot.png}
    \caption{FFT-Spektrum der Teflon-Probe. Zwei zu erkennende Peaks sind mit vertikalen Linien markiert.}
    \label{nmr_teflon_1}
\end{figure}
Es wurde außerdem ein Feldgradient in $y$-Richtung angelegt. Dies führt zu verschiedenen Lamorfrequenzen und damit zu verschiedenen Peaks im FFT-Spektrum. Dies lässt sich wie folgt verstehen:\\
Da die Proben an verschiedenen Orten (rämlich getrennt) auftreten, z.B. $x_1$, $x_2$ und $x_3$, erfahren diese aufgrund des räumlichen Magnetfeldgadiententen verschiedene Stärken des $\Vec{B}$-Feldes. Dies korrespondiert direkt nach der Beziehung
\begin{equation}
    \omega_L = \gamma B
\end{equation}
zu einer unterschiedlichen Lamorfrequenz. Schematisch wird diese Erklärung in \autoref{nmr_teflon_expl} dargestellt.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=150mm]{06_NMR/Teflon_Schematics.png}
    \caption{Bild zur Erklärung der Peaks im im FFT-Spektrum von Teflon mit einem Feldgradienten in $y$-Richtung.}
    \label{nmr_teflon_expl}
\end{figure}
In unserem Versuch sind zwei Kunstoff-Platten (rot in \autoref{nmr_teflon_expl}) durch eine Teflon-Platte (grün in \autoref{nmr_teflon_expl}) getrennt. Da es sich um verschiedene Materialien handelt, erwartet man zwei Peaks nahe beieinander, der dritte Peak (in obiger Abbildung grün dargestellt) versschwindet, aufgrund der dort ausschließlich vorhandenen Fluor-Atome mit den Einstellungen für Protonen-Messung. Die Teflon-Probe hat einen Kernspin von Null und erzeugt damit im Gegensatz zu den umgebenden Kunststoffplatten kein NMR-Signal.\\
\\[0.5pt]
\noindent Man erkennt in \autoref{nmr_teflon_1} diese zwei Peaks, welche durch obige Erläuterung zu erwarten waren, sehr gut. Die Frequenzen ergeben sich zu
\begin{align}
    f_1 &= 8212.00\,\SI{}{Hz}\\
    f_2 &= 9198.43\,\SI{}{Hz}. 
\end{align}




\subsection{FC-43 Probe}

\subsubsection{Freier Induktionsabfall}
Nachfolgend ist der freie Induktionsabfall (FDI) nach einem $\frac{\pi}{2}$-Puls für Perfluortributylamin zu sehen.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=150mm]{06_NMR/FC43_3.png}
    \caption{Freier Induktionsabfall (FDI) der FC43-Probe}
    \label{nmr_fc43_fdi}
\end{figure}
Es wurd eine erneute Konfiguration der Pulsdauer und der Lamorfrequenz vorgenommen. Diese wurden von uns nicht notiert. Man würde diese jedoch in folgender Größenordnung erwarten:
\begin{align}
    \tau_{pi}\approx& \,9.5\,\SI{}{\mu s}\\
    f_L \approx& \,20.2\,\SI{}{MHz}.
\end{align}


\subsubsection{Longitudinale Relaxationszeit}

Wir betrachten nun die verschiedenen
Larmorfrequenzen von Perfluortributylamin, welche ihren Ursprung in der chemischen Verschiebung haben. Atomkerne können durch verschiedene Verbindungen verschieden stark durch ihre Elektronenhülle abgeschirmt sein, was wiederum zu einem ortsabhängigen Magnetfeld führt. Nachfolgend ist das Spektrum zu sehen.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=150mm]{06_NMR/F43_1.png}
    \caption{Bild zur Erklärung der Peaks im im FFT-Spektrum der F43-Probe.}
    \label{nmr_f43_1}
\end{figure}
Die drei verschiedenen Peaks lassen sich wie folgt erklären: Durch die komplexe Molekülstruktur gibt es insgesamt drei verschiedene Umgebungen:
\begin{enumerate}
    \item Zwei F-Atome und ein C-Atom, welches mit einem weiteren C-Atom und dem zentralen N-Atom verbunden ist (Verbindung der drei Äste)

    \item Zwei F-Atome und ein C-Atom, welches seinerseits an zwei weitere C-Atome gebunden ist (Zentrales Gebiet)
    
    \item Drei F-Atome, welche an ein C-Atom gebunden sind, welches wieder an ein C-Atom gebunden ist (Ende der drei Äste)
\end{enumerate}
Jede der drei Umgebungen liefert eine verschiedene chemische Verschiebung, was zu einem anderen Frequenzpeak in \autoref{nmr_f43_1} führt. Die drei Peaks wurden graphisch zu
\begin{align}
    f_1 &= 11886.4\,\SI{}{Hz}\\
    f_2 &= 13390.7\,\SI{}{Hz}\\
    f_3 &= 14179.9\,\SI{}{Hz}
\end{align}
bestimmt. Dies zu erwarten, da die Fluratome sich in verschiedenen magnetischen Feldern befinden.



\end{document}