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\begin{document}

\begin{titlepage}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}
\center
\textsc{\LARGE Universität Tübingen}\\[1.5cm] 
\textsc{\Large F-Praktikum}\\[0.5cm] 
\textsc{\large LOR}\\[0.5cm] 
\HRule \\[0.4cm]
{\huge \bfseries Laserstrahlen und optische Resonatoren}\\[0.4cm] 
Version 1
\HRule \\[1.0cm]
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushleft} \large
        \emph{Von:}\\
        Gruppe 22\newline
        \underline{Fabian Kraus}\newline
        Simon Fischer
    \end{flushleft}
\end{minipage}
~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushright} \large
        \emph{Betreuer:}\\
        Claus Zimmermann
    \end{flushright}
\end{minipage}\\[2cm]
{\large Durchgeführt: 18.06.2021}\\
{\large Version 1: \today}\\
\tableofcontents
\end{titlepage}

\section{Einleitung}
Beim Bau von  Lasern möchte man gerne, dass der Laserstrahl so oft wie möglich das verstärkende Lasermedium durchläuft. Um dies zu erreichen, baut man um das Lasermedium einen optischen Resonator: Eine Anordnung von Spiegeln, bei der ein Strahl immer wieder in sich selbst reflektiert wird. In diesem Versuch untersuchen wir die verschiedenen Schwingungsmoden eines Resonators aus zwei sich gegenüberstehenden Spiegeln. Den Abstand der Spiegel können wir mit Hilfe eines an einen Funktionsgenerator angeschlossenen Piezo-Kristalls variieren.


\section{Theorie}
\subsection{Paraxiale Wellengleichung}
Aus den Maxwell-Gleichungen im Vakuum oder in Luft (letzteres nur genähert) kann man bekanntlich eine Wellengleichung für das Feld $\vec{E}$ herleiten (das magnetische Feld betrachten wir hier nicht, es folgt komplett analog):
\begin{equation}\label{lor:eq:wellengl}
    \nabla^2\Vec{E}(\Vec{r},t)\,=\,\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Vec{E}(\Vec{r},t)
\end{equation}
Zur Lösung dieser Gleichung machen wir einen Separationsansatz, trennen also die zeitliche und räumliche Abhängigkeit voneinander:
\begin{equation*}
    \Vec{E}(\Vec{r},t)\,=\,E(t)\,\cdot\,\Vec{u}(\Vec{r})
\end{equation*}
Beim Einsetzen in Gleichung \eqref{lor:eq:wellengl} erhält man dann:
\begin{equation*}
    E(t)\nabla^2\Vec{u}(\Vec{r})\,&=\,\frac{1}{c^2}\Vec{u}(\Vec{r})\frac{\partial^2}{\partial t^2}E(t)
\end{equation*}
Wenn wir nun annehmen, dass $\Vec{E}(\Vec{r},t)\,\neq\,\vec{0}$ so können wir jede Komponente durch ihr jeweiliges $E_i(\Vec{r},t)$ teilen und erhalten eine Gleichung, deren zwei Seiten jeweils von nur einer Variable abhängen. Sie kann also nur gelöst werden, wenn beide Seiten konstant sind:
\begin{align*}
    \frac{1}{u_i}\nabla^2 u(\Vec{r}) = \text{konst.} = \frac{1}{c^2}\frac{1}{E(t)}\partial_t^2 E(t)
\end{align*}
Es wird sich als praktisch herausstellen, die Konstante als $-k^2$ mit $k\,\in\,\mathbb{R}$ zu schreiben. Dann haben wir die zwei Gleichungen
\begin{align*}
    \partial_t^2 E(t)\,&=\,-(ck)^2E(t)\\\
    \nabla^2\Vec{u}(\Vec{r})\,&=\,-k^2\Vec{u}(\Vec{r})
\end{align*}

Die allgemeine Lösung der ersten Gleichung ist
\begin{equation*}
    E(t)\,=\,Ae^{+i \omega t}\,+\,Be^{-i \omega t}
\end{equation*}
mit $\omega\,=\,kc$, $A,B$ zwei Konstanten aus den Rand-/Anfangsbedingungen.\\

Für die zweite Gleichung machen wir die vereinfachende Annahme, dass die Polarisation überall gleich ist, also $\Vec{u}(\Vec{r})\,=\,\Vec{\epsilon}\cdot u(\Vec{r})$, wobei $\Vec{\epsilon}$ unabhängig von $\vec{r}$ sei. Dies führt auf die skalare Helmholtz-Gleichung (Eigenwertgleichung des Laplace-Operators):
\begin{equation}\label{lor:eq:Helmholtz}
    \nabla^2 u(\Vec{r})\,=\,-k^2 u(\Vec{r})
\end{equation}
Man nennt die Eigenfunktionen $u$ die Licht- oder Schwingungsmoden des Resonators.
Wir machen hier den Ansatz
\begin{equation} \label{lor:eq:AnsatzHelmholtzt}
    u(\Vec{r})\,=\,\psi(x,y,z)\cdot e^{-ikz}
\end{equation}
Der Faktor $e^{-ikz}$ ist bekannt von der ebenen Welle und beinhaltet die schnelle Oszillation entlang der $z$-Richtung. $\psi$ hingegen soll sich entlang $z$ nur langsam verändern. Beim Einsetzen von \eqref{lor:eq:AnsatzHelmholtzt} in \eqref{lor:eq:Helmholtz} vernachlässigen wir deshalb den Term $\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}$. Dies führt auf die paraxiale Wellengleichung:
\begin{equation}\label{lor:eq:parax}
    \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\,+\,\frac{\partial^2}{\partial y^2}\,-\,2ik\frac{\partial}{\partial z}\right)\psi\,=\,0
\end{equation}

\subsection{Lichtmoden}

\subsubsection{Die Gauß'sche Fundamentalmode}
Die einfachste Lösung von \eqref{lor:eq:Helmholtz} bzw. \eqref{lor:eq:parax} ist die sogenannte Gauß'sche Fundamentalmode. Sie lässt sich schreiben als
\begin{equation}\label{lor:eq:Gauss}
    u_{00}(\Vec{r})\,=\,u_0\cdot exp\left(-\frac{x^2\,+\,y^2}{w^2(z)}\right) \frac{w_0}{w(z)} \cdot exp\left(-i\frac{k}{2}\cdot\frac{x^2\,+\,y^2}{R(z)}\right)\cdot exp\left(-i\left(kz\,-\,\phi(z)\right)\right)
\end{equation}
Wir gehen nun die einzenen Faktoren in \eqref{lor:eq:Gauss} durch:
\begin{enumerate}

\item Die erste Exponentialfunktion beschreibt die namensgebende Gaußkurven-Einhüllende der Welle senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Es ist
\begin{align*}
    w(z)\,=&\,w_0\sqrt{\left(\frac{z}{z_0}\right)^2\,+\,1}\\
    \text{mit } \,w_0\,=&\,\sqrt{\frac{2z_0}{k}}
\end{align*}
die beam waist ("Taille") des Lichtstrahls. Sie entspricht dem Abstand von der optischen Achse, bei dem die Amplitude auf den Wert $1/e$ abgefallen ist. Hierbei ist $z_0$ ist die Rayleigh-Länge, sie charakterisiert zusammen mit $k$ den Strahl bereits vollständig.
Um das Profil des Gaußstrahls darzustellen, ist es gebräuchlich $w(z)$ zu zeichnen, weil die Intensität außerhalb von $\pm w(z)$ vernachlässigbar klein ist:
\begin{figure}[htb]
    \centering
    \includegraphics[width=120mm]{07_LOR/Strahlprofil.png}
    \centering
    \caption{Skizze des Strahlprofils | \textit{aus:} \cite{zim}}
    \label{lor:fig:strahlprofil}
\end{figure}

\item Der Faktor $\frac{w_0}{w(z)}$ stellt die Energieerhaltung sicher. Die Intensität von Licht ist proportional zum Betragsquadrat des Feldes, also $I\,\propto\,| u_{00}(\Vec{r})|^2$. Dabei fallen die Phasenfaktoren weg und es bleibt nur noch die beam waist (1.). Integriert man diesen über die Fläche senkrecht zur optischen Achse (also über $x,y$) erhält man einen Faktor $w^2(z)$ der sich dann mit 2. kürzt, d.h. die Feldenergie ist unabhängig von $z$.\\

\item Der erste Phasenfaktor beschreibt die gekrümmten Wellenfronten des Strahls, die durch $R(z)$ beschrieben werden:
\begin{equation}\label{Radius}
    R(z)\,=\,z\cdot \left(1\,+\,\left(\frac{z_0}{z}\right)^2\right)
\end{equation}

\item Der Zweite Phasenfaktor ist die sogenannte Guoy-Phase $\phi$, was die Phasenverschiebung relativ zu der ebenen Welle ist:
\begin{equation*}
    \phi(z)\,=\,\arctan\frac{z}{z_0}
\end{equation*}

\end{enumerate}

Wir betrachten die zwei Phasenfaktoren nun noch genauer. Betrachtet man die Knotenflächen des Strahls mit
\begin{equation*}
    \text{Re}(u_{00}(r,z))\,=\,0
\end{equation*}
dann kommt man durch Einsetzen (unter der zusätzlihen Annahme, dass der Radius und die Guoy-Phase konstant bezüglich $z$ sind), die Bedingung
\begin{equation}\label{lor:eq:knoten}
    \frac{kr^2}{2R}\,+\,kz-\phi\,=\,(2n+1)\frac{\pi}{2}
\end{equation}
Für kleine $z$ lässt sich diese schreiben als die Gleichung eines Kreises mit einem um $\Delta_z$ in $z$-Richtung verschobenen Ursprung:
\begin{equation*}
    r^2\,+\,\left(z\,-\,\Delta_z\right)^2\,=\,R^2
\end{equation*}
Löst man diese Näherung nach $z$ auf und macht eine Taylor-Entwicklung bis zur ersten Ordnung, dann kann man durch Vergleich mit \eqref{lor:eq:knoten} die Verschiebung $ \Delta_z$ identifizieren als:
\begin{equation*}
    \Delta_z\,=\,-R\,+\,\frac{1}{k}\left(\phi\,+\,\left(n\,+\,\frac{1}{2}\right)\pi\right)
\end{equation*}
Die Wellenfronten liegen also auf Kugeloberflächen mit Radius $R$. Zeichnet man $\frac{1}{R(z)}$ (was der Krümmung der Wellenfront entspricht) als Funktion von $z$, so erhält man folgenden Graphen: 
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=120mm]{07_LOR/Kruemmungsradius.png}
    \caption{Kehrwert des Krümmungsradius entlang der optischen Achse | \textit{Quelle:} Versuchsanleitung.}
    \label{lor:fig:warumistdiebananekrumm}
\end{figure}
Bei $\pm z_0$ sind die Wellenfronten also maximal gekrümmt. \\
\\
Betrachtet man die Guoy-Phase um $z=0$, erkennt man einen Phasenunterschied von $\pi$ verglichen mit einer ebene Welle. Das bedeutet, dass es entlang der $z$-Achse einen Knoten weniger gibt. Laut Knotensatz muss aber die Zahl der Knoten insgesamt dieselbe sein! Tatsächlich findet sich der fehlende Knoten im Unendlichen für $r\,\to\,\infty$, weil dort die Gaußfunktion (1.) gegen Null geht.
\\

\subsubsection{Die Gauß-Laguerre-Moden}
Die Fundamentalmode \eqref{lor:eq:Gauss} ist nur eine von vielen Lösungen, wie mit den zwei Indices bereits angedeutet wurde. Man kann aus ihr neue Lösungen generieren, indem man sie mit Laguerre-Polynome multipliziert. In Zylinderkoordinaten sieht die allgemeine Mode dann so aus:
\begin{equation}\label{lor:eq:Gauss-Laguerre}
    u_{p,l}(r,\varphi ,z)\,=\,\left(\sqrt{2}\frac{r}{w(z)}\right)^{\mid l\mid}\cdot L_p^{(\mid l\mid)}\left(2\frac{r^2}{w^2(z)}\right)\cdot e^{-il\varphi}\cdot u_{00}(r,z)
\end{equation}
Wobei $p\,\in\,\mathbb{N}_0$ und $l\,\in\,\mathbb{Z}$ und
\begin{align*}
    L_0^{(\mid l\mid)}(x)\,&=\,1\\
    L_{p+1}^{(l)}(x)\,&=\,\frac{(2p-\,x\,+\,1\,+\,l\,)L_p^{(l)}(x)\,-\,(p\,+\,l)L_{p-1}^{(l)}(x)}{p\,+\,1}
\end{align*}
Es ist zu beachten, dass die Guoy-Phase $\phi$ in $u_{00}(r,z)$ jetzt auch von den Indizes $p,l$ abhängt:
\begin{equation*}
    \phi_{p,l}(z)\,=\,\left(2p\,+\,\mid l\mid\,+\,1\right)\arctan\frac{z}{z_0}
\end{equation*}
\\
Der Exponentialterm $e^{-il\varphi}$ in \eqref{lor:eq:Gauss-Laguerre} lässt sich zunächst nicht messen, da beim Bilden des Betragsquadrats alle Phasenfaktoren wegfallen. Man kann aber durch Überlagerung von $u_{p,l}$ mit $u_{p,-l}$ Lösungen erzeugen, die proportional sind zum Kosinus von $l\varphi$:
\begin{align*}
    u_{p,\cos}^{(l)}(r,\varphi,z)\,&=\,u_{p,l}(r,\varphi,z)\,+\,u_{p,-l}(r,\varphi,z) \\\
    &=\,\left(\sqrt{2}\frac{r}{w(z)}\right)^{\mid l\mid} L_p^{(\mid l\mid)}\left(2\frac{r^2}{w^2(z)}\right) \cdot 2\cos(l\varphi) u_{00}(r,z)
\end{align*}
$\cos(l\varphi)$ hat im Intervall $[0,\,2\pi]$ genau $2l$ Nullstellen, es sind also genau $l$ Knotenlinien der Intensität sichtbar. \\

Weiter entspricht $p$ genau der Anzahl der Nullstellen, d.h. $u$ hat $p$ Nullstellen in radialer Richtung, die als Knotenringe in der Intensität zu sehen sind. In \autoref{tab1} sind beispielsweise die Nullstellen von ein paar Moden zusammengestellt.
\begin{table}[htb]
    \centering
    \begin{tabular}{c|l}
        (p,l)  &  Nullstellen\\
        (0,0) & - \\
        (1,0) & $x_0\,=\,1$\\
        (2,0) & $x_{1/2}\,=\,2\pm\sqrt{2}$ \\
        (3,0) & $x_1\,=\,6.2899$, $x_2\,=\,2.2943$, $x_3\,=\,0.41577$
    \end{tabular}
    \caption{Die Nullstellen der ersten Moden}
    \label{lor:tab1}
\end{table}

\subsubsection{Im Resonator: Randbedingungen}
Bis hierhin haben wir noch keinen Resonator berücksichtigt, dies machen wir nun nun durch Berücksichtigung geeigneter Randbedingungen. Damit das Licht resonant hin- und herlaufen kann, muss die Form des Strahls genau zum Resonator passen. Im Versuch nutzen wir eine Kombination aus Plan- und Hohlspiegel. Am Planspiegel brauchen wir ebene Wellenfronten, d.h. der beam waist bei $z\,=\,0$ muss genau auf der Höhe dieses Spiegels liegen. Am Hohlspiegel (bei $z\,=\,d$) muss der Krümmungsradius des Strahls $R(d)$ genau gleich dem Krümmungsradius des Spiegels $R_S$ sein. Mit \eqref{Radius} folgt
\begin{align*}
    R(d)\,&\equiv\,d\cdot \left(1\,+\,\left(\frac{z_0}{d}\right)^2\right)\,\stackrel{!}{=}\,R_S\,\\
    \Leftrightarrow\,z_0\,&=\,\sqrt{d(R_S\,-\,d)}
\end{align*}
Für stabile Lösungen (reelle Lösungen) gilt also $d\,<\,R_S$, ansonsten wird der Strahl bei jedem Umlauf größer und passt irgendwann nicht mehr auf den Spiegel.\\
Eine weitere Randbedingung entsteht durch die Phase, die pro Umlauf aufgesammelt wird. Damit der Strahl sich konstruktiv überlagert muss diese Phase ein Vielfaches von $2\pi$ sein. Für Hin- und Rückweg wird jeweils dieselbe Phase aufgesammelt, es gilt also
\begin{equation*}
    2(kd\,-\,\phi(p,l,d))\,=\,q\cdot 2\pi;\,\,\,q\,\in\mathbb{N}_0
\end{equation*}
Dieser Ausdruck lässt sich nun nach $k$ Umformen und über $k\,=\,\omega/c\,=\,2\pi \nu/c$ erhält man einen Ausdruck für die Frequenz $\nu$:
\begin{equation*}
    \nu\,=\,\frac{c}{2d}\left(q\,+\,(2p\,+\,\mid l\mid\,+\,1)\frac{1}{\pi}\arctan\frac{d}{z_0}\right)
\end{equation*}
Man kann jetzt noch den Ausdruck für die Rayleigh-Länge des Resonators einsetzen und mit einer trigonometrischen Identität die Frequenz nur in Abhängigkeit von geometrischen Eigenschaften des Resonators auszudrücken. Man definiert den freien Spektralbereich $\nu_{\text{fsr}}$ und die transversale Oszillationsfrequenz $\nu_{\text{t}}$ als
\begin{equation}\label{lor:eq:fsr}
    \nu_{\text{fsr}}\,&\equiv\,\frac{c}{2d}  \\\
\end{equation}
\begin{equation*}
    \nu_{\text{t}}\,&\equiv\,\nu_{\text{fsr}}\cdot\frac{1}{2\pi}\arccos\left(1\,-\,\frac{2d}{R_S}\right)
\end{equation*}
Damit lässt sich die Frequenz sehr kompakt schreiben. Zusammen mit einer eventuellen Konstante $\nu_0$ (diese wird nachher in der Auswertung wieder wegfallen, wenn wir Frequenzdifferenzen betrachten) erhält man
\begin{equation}\label{lor:eq:nu}
    \nu\,=\,q\nu_{\text{fsr}}\,+\,(2p\,+\,\mid l\mid\,+\,1)\nu_{\text{t}}\,+\,\nu_0
\end{equation}
\\

Im Experiment ist die Frequenz des Lasers fest. Um verschiedene Resonanzen sehen zu können, müssen wir also die Frequenz des Resonators ändern. Dies geschieht mit einem Piezoelement mit dem wir den ursprünglichen Spiegelabstand $d_0$ periodisch um einen kleinen Betrag $\delta$ ändern. Dadurch ergibt sich näherungsweise folgende Abhängigkeit des freien Spektralbereichs (mit $\nu_{\text{fsr}}^{(0)}\,\equiv\,c/(2d_0)$)
\begin{equation*}
    \nu_{\text{fsr}}\,=\,\frac{c}{2(d_0\,+\,\delta)}\,=\,\frac{c}{2d_0}\cdot\frac{1}{1\,+\,\frac{\delta}{d_0}}\,=\,\nu_{\text{fsr}}^{(0)}\left(1\,-\,\frac{\delta}{d_0}\,+\,\mathcal{O}\left(\left(\frac{\delta}{d_0}\right)^2\right)\right)
\end{equation*}
In erster Näherung hat also die Änderung der Frequenz das umgekehrte Vorzeichen gegenüber der Änderung des Spiegelabstands. Das bedeutet man kann ursprünglich rotverstimmte Moden des Resonators durch Verringern des Spiegelabstands auf die Laserfrequenz anheben. Dieses umgekehrte Vorzeichen wird später wichtig für die Orientierung der Frequenzachse des Resonatorspektrums in der Auswertung.

\newpage
\section{Versuchsdurchführung}
Es wird ein He-Ne Laser verwendet. Ein optischer Isolator an dessen Ausgang soll mögliche unerwünschte Rückreflexe vermeiden. Nach einem Umlenkspiegel wird der Strahl durch entweder keines, ein oder zwei Glasplättchen geleitet. Je nach Anzahl dieser Plättchen ist es möglich, $|l|=0,1$ oder $2$ zu erzeugen. Nach einer weiteren Umlenkung wird der Strahl auf den planaren Einkoppelspiegel, welcher in \autoref{fig3} grau schattiert dargestellt ist, fokusiert. An diesem ist ein Piezoelement befestigt. Eine positive Spannung $U>0$ am Piezoelement führt zu einer Verringerung des Abstands der beiden Spiegel, eine negative Spannung hat den umgekehrten Effekt. Damit kann der Abstand der Ein- und Auskopplungsspiegel periodisch moduliert werden.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=120mm]{07_LOR/LOR_Aufbau.PNG}
  
    \caption{Aufbau LOR-Versuch | \textit{aus:} \cite{zim}}
    \label{fig3}
\end{figure}
Der Auskopplungsspiegel ist konvex mit einem Krümmungsradius von $R_s = 18\,\SI{}{mm}$. Die Transmissionskoeffizienten von Ein- und Auskopplungsspiegel betragen jeweils etwa fünf Prozent. Damit wird ein Strahl den Auskoppelspiegel verlassen, welcher dann durch eine konkave Linse auf einen Strahlenteiler fokusiert wird. Ein Teil des Strahls wird auf eine Photodiode gelenkt, der andere Teil des Strahls fällt auf die CCD-Kamera. Die Photodiode erlaubt es, das Spektrum zu vermessen, während die CCD-Kamera das Erzeugen von Bildern der Intensitätsverteilung ermöglicht.

Um den Abstand der beiden Spiegel korrekt einzustellen, wird der Prozedur in \cite{zim} gefolgt. Es folgt die Diskussion der aufgenommenen Spektren und Modenprofile.
\newpage

\section{Ergebnisse und Auswertung}
\subsection{Analyse des Laserspektrums}
Bei einem Spiegelabstand $d=R_S - \delta = 18.00 \text{mm} - 2.20\text{mm} = 15.80\text{mm}$ konnten wir das in \autoref{lor:fig:cal} dargestellte Spektrum aufzeichnen. Man kann erkennen, dass jede Resonanz zwei Mal mit leicht unterschiedlichen Intensitäten direkt nebeneinander auftritt. Das liegt daran, dass der verwendete He-Ne-Laser Licht in zwei unterschiedlichen Frequenzen aussendet. Aus dem Abstand dieser zwei Resonanzen berechnen wir nun die Länge des im Laser verbauten Resonators.\\

Der freie Spektralbereich $\nu_{\text{fsr}}$ berechnet sich mit \eqref{lor:eq:fsr} als
\begin{equation*}
    \nu_{\text{fsr}} = 9.49 \text{GHz}
\end{equation*}
Die Zeit für einen solchen Bereich (=Periodendauer) lässt sich aus dem Bild oder aus den Daten ablesen als $T\approx33.5\text{ms}$. Dadurch ergibt sich die relative Umrechnung der $x$-Achse in Frequenzen als
\begin{equation*}
    \Delta \nu [\text{MHz}] \approx \Delta T[\text{ms}]\cdot 2.83×10^{11}
\end{equation*}
Misst man nun den Abstand zweier Peaks, die zur selben Mode gehören, so kann man daraus die Länge des Resonators im Laser bestimmen. Wir haben die beiden $l=0$ Moden gewählt, weil diese am größten waren und jeweils zwei Mal im erfassten Bereich zu sehen sind (markiert mit 'L' und 'R'). Der Mittelwert des Frequenzunterschieds ist
\begin{equation*}
    <\Delta {\nu}>_{\text{LR}} = 690.30 \text{MHz}
\end{equation*}
Damit ergibt sich die Laserresonatorlänge $d_{\text{L}}$ als
\begin{equation*}
    d_{\text{L}} = \frac{c}{2 <\Delta {\nu}>_{\text{LR}}} = 21.71 \text{cm}
\end{equation*}
Da das Gehäuße des Lasers insgesamt ca. 28cm lang war, erscheint uns dieses Ergebnis als plausibel.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=140mm]{07_LOR/scope_1_zoom.PNG}
    \caption{Resonanzspektrum zur Kalibrierung}
    \label{lor:fig:cal}
\end{figure}
\newpage




\subsection{Resonatorspektren}
Wir zeigen nun zunächst die Spektren für $l=0$ und $|l|=1$ (erreicht durch ein Glasplättchen, das der unteren Hälfte des Strahls eine Phase $\pi$ hinzufügt) mit den identifizierten Moden (die Mode (4,0) wurde nicht ausgewertet):
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=140mm]{07_LOR/scope_1.PNG}
    \caption{Resonanzspektrum $I(f)$ mit identifizierten Resonanzen $(p,l=0)$. Achsen in willkürlichen Einheiten.}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=140mm]{07_LOR/liam.PNG}
    \caption{Resonanzspektrum $I(f)$ mit identifizierten Resonanzen $(p,|l|=1)$. Achsen in willkürlichen Einheiten.}
\end{figure}
Nun haben wir jeweils die Frequenzunterschiede zwischen der Fundamentalmode $(0,0)$ und den einzelnen Moden bestimmt und auf den freien Spektralbereich skaliert. Es wurde jeweils der linke der beiden Werte genommen. Die selben Werte kann man mit \eqref{lor:eq:nu} auch theoretisch berechnen: Wir vergleichen in \autoref{lor:tab:res1} die Messung mit der Theorie. Wir bestimmen außerdem noch den Unterschied der longitudinalen Modenzahl $\Delta q$, welcher sich immer ändert wenn $2p\frac{\nu_{\text{t}}}{\nu_{\text{fsr}}}$ die eins überschreitet.
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c|c}
        $(p,|l|)$ & $\nu_{\text{theo}}/\nu_{\text{fsr}}$ & $\nu_{\text{exp}}/\nu_{\text{fsr}}$ & \Delta q\\ \hline
        (0,0) & 0 & 0 & 0 \\ \hline
        (1,0) & 0.778 & 0.780 & 0 \\ \hline
        (2,0) & 0.557 & 0.565 & -1  \\ \hline
        (3,0) & 0.341 & 0.340& -2  \\ \hline
        (0,1) & 0 & 0 & 0  \\ \hline
        (1,1) & 0.778 & 0.777 & 0 \\ \hline
        (2,1) & 0.557  & 0.363 & -1 \\ \hline
        (3,1) & 0.341 & 0.339 & -2
    \end{tabular}
    \caption{Ergebnisse für die Resonanzfrequenzen und Vergleich zur Theorie}
    \label{lor:tab:res1}
\end{table}

\subsection{Modenprofile}
Wir stellen nun noch die mit der CCD-Kamera aufgezeichneten Modenprofile bei $l=0$ zusammen (das Profil (4,0) wurde zur Auswertung nicht verwendet):
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=140mm]{07_LOR/snap1.PNG}
    \caption{Modenprofile von $(p,0)$}
\end{figure}
Wir können nun die Radii $(r_{p,0})_i$ des $i$-ten Knotenringes von Hand vermessen und mit den theoretischen Werten für die Nullstellen der Laguerre-Polynome aus \autoref{lor:tab1} vergleichen. Hier entspricht $(r_{p,0})_i\equiv\sqrt{x_{p,i}}$. Wir normalisieren die Radii auf den Radius der (1,0)-Mode. Die Ergebnisse sind in \autoref{lor:tab:res2} zusammengefasst. Man erkennt, dass das Profil von (2,0) mit zu geringer Belichtungszeit aufgenommen wurde, was das Ablesen des Radiuses hier sehr schwer gemacht hat.
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c}
        $(p,|l|)_i$ & $r_{p,\text{theo}}/r_{0,\text{theo}}$ & $r_{p,\text{exp}}/r_{0,\text{exp}}$ \\ \hline
        $(1,0)_1$ & 1 & 1 \\ \hline
        $(2,0)_1$ & 0.765 & 0.754   \\ \hline
        $(2,0)_2$ & 1.848 & 1.804   \\ \hline
        $(3,0)_1$ & 0.645 & 0.632   \\ \hline
        $(3,0)_2$ & 1.515 & 1.498 \\ \hline
        $(3,0)_3$ & 2.508 & 2.532  \\
    \end{tabular}
    \caption{Ergebnisse für die Verhältnisse der Knotenring-Radii und Vergleich zur Theorie}
    \label{lor:tab:res2}
\end{table}
Es macht keinen Sinn, diese Prozedur für $|l|=1$ zu wiederholen, da man hier nur neue Knotenlinien erhält, die durch den Ursprung laufen, keine neuen Knotenringe. Deshalb präsentieren wir hier noch die Profile für $l=1,2$ ohne weitere Analsye.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=140mm]{07_LOR/snap2.PNG}
    \caption{Modenprofile von $(p,1)$}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=140mm]{07_LOR/snap3.PNG}
    \caption{Modenprofile von $(p,2)$}
\end{figure}
\subsection{Zusammenfassung}
Wir haben für den von uns gebauten Resonator den freien Spektralbereich zu $ \nu_{\text{fsr}} = 9.49 \text{GHz}$ bestimmt und konnten damit auf eine Laser-Resonator-Länge von $d_{\text{L}} = 21.71 \text{cm}$ schließen, indem wir den Frequenzabstand der zwei Laser-Komponenten vermessen haben. \\
Wir konnten für $|l|=0, 1, 2$ alle theoretisch vorhergesagten Lichtmoden beobachten und deren Frequenzen sowie Knotenring-Radii mit den Vorhersagen der Theorie vergleichen. Die Abweichung des Experiments von Theorie betrug maximal 10\%.
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\printbibliography
\end{document}