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\begin{document}

\begin{titlepage}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}
\center
\textsc{\LARGE Universität Tübingen}\\[1.5cm] 
\textsc{\Large F-Praktikum}\\[0.5cm] 
\textsc{\large SUP}\\[0.5cm] 
\HRule \\[0.4cm]
{\huge \bfseries Supraleitung}\\[0.4cm] 
Version 2
\HRule \\[1.0cm]
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushleft} \large
        \emph{Von:}\\
        Gruppe 22\newline
        \underline{Simon Fischer}\newline
        Fabian Kraus
    \end{flushleft}
\end{minipage}
~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushright} \large
        \emph{Betreuer:}\\
        Christoph Back
    \end{flushright}
\end{minipage}\\[2cm]
{\large Durchgeführt: 07.05.2021}\\
{\large Version 1: 08.05.2021}\\
{\large Version 2: 20.05.2021}\\
\end{titlepage}


\section{Einleitung} %Fertig
Bei diesem Versuch werden die Eigenschaften einer vorliegenden Niob-Probe, einem Supraleiter mit kritischer Temperatur von ca 9K, untersucht. Der Temperaturverlauf des Widerstands, die Sprungtemperatur und der Flux-Flow-Widerstand werden betrachtet. Für den Aufbau wird ein mit flüssigem Stickstoff und Helium gefülltes Cryostat verwendet, die Messungen werden mithilfe einer PC-Karte und einer speziellen Software durchgeführt.



\section{Theorie} %Fertig
In diesem Abschnitt fassen wir die für die Auswertung benötigte Theorie kurz zusammen. 

\subsection{Temperaturabhängigkeit des Widerstands} %Fertig
Vergleicht man den Widerstands eines Normalleiters bei verschiedenen Temperaturen, dann ist die entstehende Kurve über einen sehr großen Temperaturbereich näherungsweise linear, aber geht für sehr tiefe Temperaturen relativ flach in einen Restwiderstand über. Wenn die thermische Energie hoch genug ist, um Phononen anzuregen, dann ist die Elektronen-Phononen-Streuung der dominierende Beitrag zum Widerstand. Diese hängt linear von der Temperatur ab, was den größeren Temperaturbereich erklärt. Bei niedrigeren Temperaturen gibt es immer weniger Phononen und man kann zeigen, dass hier der Widerstand $R \propto T^5$ ist. Wenn keine Phononen mehr vorhanden sind, verbleibt ein Restwiderstand $R_0$ aufgrund von Verunreinigungen im Material. Man definiert die residual resistance ratio RRR als Verhältnis der Widerstände bei Raumtemperatur (293K) und dem Restwiderstand:
\begin{equation}
    \text{RRR}\,=\,\frac{R(293\si{K})}{R_0}
\end{equation}
Die RRR ist ein Maß für die Reinheit der Probe, wobei hochreine Proben vierstellige Werte erreichen können. Für unsere Probe erwarten wir größenordnungsmäßig $\text{RRR}\,\approx\,100$.
Im Gegensatz zum normalen Leiter springt bei Materialien wie Niob der Widerstand unterhalb der sogenannten kritischen Temperatur $T_C$ auf null. Man nennt diesen Effekt Supraleitung.
Zur theoretischen-phänomenologischen Erklärung des Effekts der Supraleitung gibt es drei Theorien, die alle hier kurz zusammengefasst werden sollen.\\


\subsection{London-Theorie} %Fertig
Die London-Theorie war die erste Theorie, die die Supraleitung erklären konnte. Man erhält hier folgende Gleichungen, die auch 1. und 2. London-Gleichung genannt werden:
\begin{equation}
    \begin{split}
        \partial_t\Vec{j}\,&=\,\frac{nq^2}{m}\Vec{E} \\\
        \nabla\times\Vec{j}\,&=\,-\frac{nq^2}{m}\Vec{B} \\\
    \end{split}
\end{equation}
...wo $n$ die Ladungsträgerdichte, $q$ die Ladung und $m$ die Masse ist. 
Die erste Gleichung erklärt den Dauerstrom im Supraleiter, denn ohne Feld ist die Stromdichte konstant. Über die zweite Gleichung lässt erklären, warum äußere Felder (fast) nicht in Supraleiter eindringen können (Meißner-Effekt). Man erhält für planare Geometrie einen exponentiellen Abfall des Felds hinter der Granzfläche, wobei die London'sche Eindringtiefe
\begin{equation}
    \lambda_L=\sqrt{\frac{m}{\mu_0nq^2}}
\end{equation}
eine charakteristische Längenskala darstellt (Größenordnung: hundert Nanometer).


\subsection{BCS-Theorie} %Fertig
Die BCS-Theorie ist eine mikroskopische Theorie zur Beschreibung von Supraleitung. Die Theorie postuliert eine Anziehung zwischen benachbarten Elektronen, die die Coulomb-Abstoßung überwindet. Anschaulich wird diese Kraft durch Ionisationsspuren erklärt, die Elektronen bei Bewegungen durch den Festkörper hinter sich herziehen. Die Elektronen ziehen sich also nicht direkt an, sondern leicht verzögert. Ein auf diese Weise interagierendes Elektronpaar nennt man ein Cooper-Paar.
Wenn zwei Spin-1/2 Teilchen wie die Elektronen hier sich zu einem ganzzahligem Spin koppeln, entsteht so ein Quasiboson. Bosonen unterliegen nicht dem Pauli-Prinzip, sodass alle Cooper-Paare denselben Zustand besetzen können, d.h. alle Elektronen können über eine makroskopische Wellenfunktion beschrieben werden. Die BCS Theorie liefert für die Breite der Energielücke um die Fermikante herum bei $T=0\si{K}$ folgendes Ergebnis:
\begin{equation}
    2\Delta\,=\,3.52k_BT_C
\end{equation}


\subsection{Ginsburg-Landau-Theorie} %Fertig
Diese Theorie ist eine phänomenologische Theorie und nutzt die Prinzipien der Thermodynamik. Man macht eine Taylor-Entwicklung für die freie Energie um die kritische Temperatur und schreibt
\begin{equation}
    F_{SL}-F_{NL}\,=\,\alpha n_S\,+\,\frac{\beta}{2}n_S^2\,+\,\frac{1}{2m}\left\vert\left(-i\hbar\nabla\,+\,2e\Vec{A}\right)\psi\right\vert^2\,+\,\frac{\mid\Vec{B}\mid^2}{2\mu_0}
\end{equation}
Man kann leicht sehen, dass nur der $\alpha$-Term als möglicher negativer Beitrag in Frage kommen kann. Es ist daher naheliegend, dass die Temperaturabhängigkeit im Parameter $\alpha$ steckt, also $\alpha\,=\,\alpha_0\left(T-T_C\right)$.

Man sieht außerdem, dass ein zu großes Magnetfeld das Ausbilden einer supraleitenden Phase verhindert, da dann die rechte Seite positiv bleibt. Man spricht von einem kritischen Feld $B_C$, das die SL zerstört.

Minimiert man die freie Energie nach den Parametern, so erhält man die beiden Ginsburg-Landau-Gleichungen
\begin{equation}
    \begin{split}
        \alpha\psi\,+\,\beta\left\vert\psi\right\vert^2\psi\,+\,\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\nabla\,+\,2e\Vec{A}\right)^2\psi\,&=\,0 \\\
        -\frac{2e}{m}Re\left\{\psi^*\left(-i\hbar\nabla\,+\,2e\Vec{A}\right)\psi \right\}\,&=\,\Vec{j}
    \end{split}
\end{equation}
...aus denen sich zwei charakteristische Längenskalen ergeben - die Ginsburg-Landau-Kohärenzlänge
\begin{equation}
    \xi_{GL}\,=\,\sqrt{\frac{\hbar^2}{2m\mid\alpha\mid}}
\end{equation}
...und die Ginsburg-Landau-Eindringtiefe 
\begin{equation}
    \lambda_{GL}\,=\,\sqrt{\frac{m^*}{4\mu_0e^2\psi_0^2}}
\end{equation}
...wobei $\psi_0$ für den Ordnungsparameter im Gleichgewicht ohne Feld steht.

Die Eindringtiefe ist wie bei der London Theorie, $\xi_{GL}$ kann man als Radius der sogenannten Abrikosov-Vertices in Typ-II-Supraleitern interpretieren. Diese besitzen zusätzlich noch eine vom externen Magnetfeld abhängige Phase, die sogenannte Shubnikov-Phase (zwischen oberem kritischen Feld $B_{C2}$ und unterem kritischen Feld $B_{C1}$), in der das äußere Feld nicht vollständig abgeschirmt, sondern in Flussschläuchen mit quantisiertem Fluss durch das Material dringt. Die Bedeutung der Längenskalen wird in \autoref{sup:fig:aprikose} schematisch verdeutlicht. Ob ein Supraleiter Typ I oder Typ II ist, hängt vom Verhältnis von $\lambda_{GL}$ und $\xi_{GL}$ ab, man definiert den Ginsburg-Landau-Parameter 
\begin{equation}
    \kappa\,=\,\frac{\lambda}{\xi}
\end{equation}
Für $\kappa\,<\, \frac{1}{\sqrt{2}}$ hat man Typ I und für $\kappa\,>\,\frac{1}{\sqrt{2}}$ Typ-II-Supraleiter.
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics{02_SUP/H_n_j.png}
    \caption{$h(r)$, $j(r)$ und $\mid\psi(r)\mid^2$} um einen Abrikosov-Vortex herum [aus der Anleitung Supraleitung, Universität Tübingen, Christoph Back, Boris Groß]
    \label{sup:fig:aprikose}
\end{figure}


\subsection{Flux Flow \& Flussquantisierung} %Fertig
Der Fluss in Supraleitern ist quantisiert. Man kann zeigen, dass
\begin{equation}
    \Phi_0n\,=\,\mu_0\lambda^2\oint\Vec{j_S}\mathrm{d}\Vec{l}\,+\,\Phi
\end{equation}
Meist ist die Eindringtiefe sehr viel kleiner als die Dimensionen des Materials. Dann sind die inneren Ströme sehr schwach, sodass der zweite Term dominiert und sich die Flussquantisierung ergibt: 
\begin{equation}
    \Phi\,=\,n\Phi_0
\end{equation}
Identifiziert man die Ladung eines Cooper-Paares mit den SL-Ladungsträgern, $q_s\,=\,2e$, dann ergibt sich \begin{equation}
    \Phi_0\,\approx\,\SI{2.07e-15}{Vs}
\end{equation}

Ein weiterer, wichtiger Effekt ist der 'Flux Flow'. Fließt bei einem Typ-II-SL in der Shubnikov-Phase ein Strom senkrecht zur Richtung der Abrikosov-Vertices, dann spüren diese die Lorentz-Kraft und fangen an, sich zu bewegen. Dadurch tritt eine zeitliche Änderung des Magnetfelds auf, die wiederum eine messbare Induktionsspannung erzeugt.
Da die Bewegung der Vertices nicht ungehindert geschieht, geht man von einem linearen Zusammenhang zwischen Kraft und Geschwindigkei aus
\begin{equation}
    F\,=\,\eta v_{\text{Vertices}}
\end{equation}
... mit dem Flusslinien-Dämpfungskoeffizienten $\eta$. Damit ist die Geschwindigkeit der Vertices direkt proportional zum Transportstrom und dadurch auch die Induktionsspannung, also $U\,\propto\,I$. Man erhält also eine ähnliche Situation  wie bei einem normalen Leiter und definiert daher analog einen Widerstand, den sogenannten Flux-Flow-Widerstand:
\begin{equation}
    R_{FF}\,\equiv\,\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}I}
    \label{sup:eq:RFF}
\end{equation}
In der Realität ist keine Probe ein idealer Einkristall, sondern besitzt Verunreinigungen oder Fehler im Kristallgitter, an denen die Vertices hängen beiben. Es muss also zunächst eine gewisse Kraft $F_P$ überwunden werden, bis die Vortices durch den SL laufen können. Verschiedene Vertices werden unterschiedlich stark 'festgehalten', sodass sich anfänglich noch kein linearer Anstieg einstellt, sondern erst, wenn sich alle Vertices bewegen. Mit stärkerem Feld steigt auch die Anzahl der Vertices, das Intervall der U-I-Kennlinie, in dem nichts passiert, wird deshalb mit steigendem Feld kleiner. Bei mehr Vertices ist auch die zeitliche Änderung des Magnetfelds größer, weshalb die Induktionsspannung steiler ansteigt, siehe \autoref{sup:fig:ff}.
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics{02_SUP/FFResistance.png}
    \caption{Die verschiedenen Kennlinien verdeutlichen die Abhängigkeit vom externen Feld, es ist $H_{c1}\,<\,H_1\,<\,H_2\,<\,H_3\,<\,H_{c2}$; [aus der Anleitung Supraleitung, Universität Tübingen, Christoph Back, Boris Groß]}
    \label{sup:fig:ff}
\end{figure}

\newpage



\section{Versuchsdurchführung} %Fertig
Für den Versuch steht ein Glascryostat (siehe \autoref{sup:fig:aufbau}) zur Verfügung, in das ein Probenstab mit der Niob-Probe (Nr.1) am Ende eingetaucht wird. Die äußere Kammer wird mit flüssigem Stickstoff (77.4K), die Innere mit flüssigem Helium (4.2K) befüllt.
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=8cm]{02_SUP/Versuchsaufbau.png}
    \caption{Aufbau des Glaskryostaten [aus der Anleitung Supraleitung, Universität Tübingen, Christoph Back, Boris Groß]}
    \label{sup:fig:aufbau}
\end{figure}
Über eine Diode, die neben der Probe am Stab verbaut ist wird der Spannungsabfall bei einem Strom von $\SI{10}{\mu A}$ gemessen und daraus über eine bekannte Kalibrierungskurve die Temperatur.

Die Anpassung der Temperatur der Probe erfolgt durch Variieren der Eindringtiefe des Probenstabes - oben ist es wärmer als unten. So suchen wir Punkte, an denen wir leicht über oder unter der kritischen Temperatur $T_C$ von Niob sind (die wir beim Befüllen des Crystats grob bestimmen). Dann starten wir die Messung, und lassen die Prbe abkühlen bzw. aufwärmen. Die so bei verschiedenen Stromstärken aufgenommenen $R(T)$-Diagramme werden im ersten Teil der Auswertung analysiert.

Um den systematischen Fehler, der durch Thermospannungen an den verschiedenen Metalloberflächen der langen Kontaktreihe bis zur Niobprobe zustandekommt, zu verhindern, wird der Strom periodisch umgepolt. damit wird die Spannungsdifferenz kompensieren. Praktisch geschieht dies durch die Software. 

Für die Messung der Temperatur mithilfe einer Diode ist dies nicht möglich, da die asymetrische Diodenkennlinie dies erschwert. Der dadurch entstehende Fehler wird gesondert in Abschnitt \ref{sup_ch_t_c} behandelt. 

Um die Leitungswiderstände, die die selbe Größenordnung wie die uns wichtigen Probenwiderstände haben, zu umgehen, benutzen wir eine Vier-Punkt-Schaltung, bei der Stromzufuhr und Spannungsmessung separate Verbindungen haben.

Für den zweiten Teil des Versuchs wird mithilfe einer Supraleiter-Spule ein Magnetfeld orthogonal zur Probe angelegt. Für verschiedenen Stromstärken (also Feldstärken) wird die U-I-Kennlinien der Probe aufgezeichnet, um daraus später die Abhängigkeit des Flux Flow Widerstands vom externen Feld zu bestimmen und den Wert des oberen kritischen Feldes $B_{c2}$ zu berechnen.
\newpage



\section{Ergebnisse \& Auswertung}

\subsection{Messungen ohne externes Magnetfeld}%Simon stinkt JA FABIAN STINKT NICHT

\subsubsection{Restwiderstandsverhältnis (RRR)}
Zu Beginn wird der Widerstands-Temperatur-Verlauf R(T) der Niob Brücke bestimmt. Für eine Stromstärke von $I=6 \SI{}{\mu A}$ ergibt sich folgender Verlauf des Widerstands im Verhätlnis zur Temperatur:

\begin{figure} [H]
    \centering
    \includegraphics[width=16cm]{02_SUP/RT_1_plot.jpg}
    \caption{Widerstands-Temperatur-Verlauf für Niob ($I=6 \SI{}{\mu A}$)}
    \label{sup:fig:RT_1}
\end{figure}
\noindent Es ist deutlich der Sprung von endlichem Restwiderstand auf verschwindenden, elektrischen Widerstand zu erkennen.\\
Die Widerstände bei $T=10 \SI{}{K}$ und $T=293 \SI{}{K}$ sind durch Ablesen der Messwerte zu bestimmen und ergeben sich zu
\begin{align}
    R(10\SI{}{K}) &= 2.06706 \pm 0.03 \SI{}{\Omega}\\
    R(293\SI{}{K}) &= 168.748 \pm 0.03 \SI{}{\Omega}
\end{align}
Die Wahl der systematischen Fehler ist durch die begrenzte Auflösung begründet. Es liegt kein Messwert genau für $t = 10 \SI{}{K}$ vor, sondern lediglich für $T = 9.99539 \SI{}{K}$, sowie für $T = 10.053 \SI{}{K}$ mit je $2.06706 \SI{}{\Omega}$ und $2.09109 \SI{}{\Omega}$. Daher wurde als systematischer Fehler die Differenz der beiden Werte auf die erste signifikante Stelle gerundet gewählt und aufgerundet. Für $R(293\SI{}{K})$ lagen keine Messwerte vor, die jedoch durch lineare Interpolation bestimmt werden konnten.

\begin{figure} [H]
    \centering
    \includegraphics[width=16cm]{02_SUP/RT_1_linear_fit.jpg}
    \caption{Widerstands-Temperatur-Verlauf für Niob ($I=6 \SI{}{\mu A}$) mit linearer Regression. In blau sind die Messwerte zu sehen, in rot die Ausgleichsgerade. Zur Bestimmung wurden Temperaturen von $T\geq 113.64 \SI{}{K}$ herangezogen.}
    \label{sup:fig:RT_1_ausgleichsgerade}
\end{figure}
\noindent Für $T\geq 113.64 \SI{}{K}$ erhält man den linearen Zusammenhang
\begin{align}
    R(T) = (0.583635\cdot x - 2.257)\SI{}{\Omega},
\end{align}
was durch Einsetzen von $x = T = 293 \SI{}{K}$ das Ergebnis
\begin{align}
    R(293\SI{}{K}) = 168.748 \pm 0.03 \SI{}{\Omega}
\end{align}
liefert, wie zuvor angegeben. Hierbei wurde naheliegenderweise derselbe, großzuügig gewählte Fehler wie für $R = 10 \SI{}{\Omega}$ angenommen.\\
Daraus lässt sich das Restwiderstandsverhältnis (RRR) bestimmen zu
\begin{align}
    RRR =& \frac{R(293 \SI{}{K})}{R(10 \SI{}{K})} \pm \left( \frac{1}{R(10 \SI{}{K})} \Delta R(293 \SI{}{K}) \,+\, \frac{R(293 \SI{}{K})}{(R(10 \SI{}{K}))^2} \Delta R(10 \SI{}{K}) \right)\\
    =& \left(81.693 \pm 1.199 \right),
\end{align}
wobei Gauß'sche Fehlerfortpflanzung genutzt wurde, um den Fehler für RRR zu bestimmen. Aufgrund der großzügigen Wahl der Fehlerinteravlle vorher ist nun ein Fehlerintervall für RRR von etwa $1 \SI{}{\Omega}$ zu erkennen.\\
Das Restwiderstandsverhältnis RRR gibt Aufschluss über die Reinheit der Probe. Je höher das Restwiderstandsverhältnis, desto reiner die Probe. Ein Vergleich mit Quelle \ref{sup_lit_1} zeigt, dass eine Nb Probe mit einer Dicke von etwa $2 \cdot 10^{-7} \SI{}{m}$ ein RRR von $13.2$ ausweist, was deutlich kleiner als der von uns gefundene Wert ist. Daraus schließen wir, dass die von uns verwendete Probe einen sehr hohen Reinheitshrad besaß.
\\[0.5pt]


%DONE plot der ersten messung (großer temperaturbereich) (welche Stromstärke?)
%Todo RRR bestimmen aus allen 6 Messungen (plots), Mitteln, Fehler
%DONE Labern über Reinheit der probe 


\subsubsection{Kritische Temperatur} \label{sup_ch_t_c}
Um die Sprungtemperatur zu bestimmen wurde wie folgt vorgegangen:\\
Für drei verschiedene Stromstärken ($I_1=6 \SI{}{\mu A}$, $I_2=60 \SI{}{\mu A}$ und $I_3=600 \SI{}{\mu A}$) wurde jeweils zwei mal der Widerstand um die Sprungtemperatur herum gemessen; einmal aufsteigend und einmal absteigend in der Temperatur. Die Sprungtemperatur $T_C$ wurde dann zuesrt für jede Stromstärke \textit{einzeln} aus einer Mittlung\footnote{} der aufsteigenden und absteigenden Messwerte bestimmt, anschließend wurde der Mittelwert \textit{aller} Resultate für die drei einzelnen Stromstärken genommen.\\
\\[0.5pt]
Im Folgenden sind die Messwerte für die einzelnen Stromstärken zu sehen.
\footnotetext{Als Mittlungsmethode wurde das arithmethsiche Mittel gewählt.}

\begin{figure} [H]
    \centering
    \includegraphics[width=16cm]{02_SUP/I6_krit_Temp.jpg}
    \caption{Widerstands-Temperatur-Verlauf für Niob ($I=6 \SI{}{\mu A}$) nahe der Sprungtemperatur $T_C$. In blau sind die Messwerte für den Abkühlvorgang, in rot jene für den Erwärmungsvorgang zu sehen. Zur Bestimmung von $T_C$ wurden Werte im Intervall $0.07 \SI{}{\Omega} \leq R \leq 2.01 \SI{}{\Omega}$ ausgewählt (schwarze, horizontale Linien).}
    \label{sup:fig:T_I6_1.jpg}
\end{figure}
\noindent Der Mittelwert der ausgewählten Messdaten aus Abbildung \ref{sup:fig:T_I6_1.jpg} ergibt $T = 9.475 \SI{}{K} \pm 0.004$ im Aufwärmen und $T = 9.464 \SI{}{K} \pm 0.004$. Die Fehler sind dabei die Standardabweichungen des Mittelwerts.



\begin{figure} [H]
    \centering
    \includegraphics[width=16cm]{02_SUP/I60_krit_Temp.jpg}
    \caption{Widerstands-Temperatur-Verlauf für Niob ($I=60 \SI{}{\mu A}$) nahe der Sprungtemperatur $T_C$. In blau sind die Messwerte für den Abkühlvorgang, in blau jene für den Erwärmungsvorgang zu sehen. Zur Bestimmung von $T_C$ wurden Werte im Intervall $0.07 \SI{}{\Omega} \leq R \leq 2.01 \SI{}{\Omega}$ ausgewählt (schwarze, horizontale Linien).}
    \label{sup:fig:T_I60_1.jpg}
\end{figure}
\noindent Der Mittelwert der ausgewählten Messdaten aus Abbildung \ref{sup:fig:T_I60_1.jpg} ergibt $T = 9.459\SI{}{K} \pm 0.004$ im Aufwärmen und $T = 9.457 \SI{}{K} \pm 0.005$. Als Fehler wurden dabei wieder die Standardabweichungen des Mittelwerts gewählt.


\begin{figure} [H]
    \centering
    \includegraphics[width=16cm]{02_SUP/I600_krit_Temp.jpg}
    \caption{Widerstands-Temperatur-Verlauf für Niob ($I=600 \SI{}{\mu A}$) nahe der Sprungtemperatur $T_C$. In blau sind die Messwerte für den Abkühlvorgang, in blau jene für den Erwärmungsvorgang zu sehen. Zur Bestimmung von $T_C$ wurden Werte im Intervall $0.07 \SI{}{\Omega} \leq R \leq 2.01 \SI{}{\Omega}$ ausgewählt (schwarze, horizontale Linien).}
    \label{sup:fig:T_I600_1.jpg}
\end{figure}
\noindent Der Mittelwert der ausgewählten Messdaten aus Abbildung \ref{sup:fig:T_I600_1.jpg} ergibt $T = (9.457 \pm 0.008)\SI{}{K}$ im Aufwärmen und $T = (9.453 \pm 0.008)\SI{}{K}$. Als Fehler wurden dabei erneut die Standardabweichungen des Mittelwerts gewählt.\\
\\[0.5pt]
Alles in allem lassen sich die Ergebnisse für die drei Strommessungen in der folgenden Tabelle zusammenfassen:
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c}
        $I$ [$\SI{}{mA}$]& $T_C$ [$\SI{}{K}$] \\\hline
        $6$ & 9.470 \pm 0.004\\ %9.4695
        $60$ & 9.458 \pm 0.005\\ %
        $600$ & 9.455 \pm 0.008\\
    \end{tabular}
    \caption{Ergebisse für $T_C$ aus den Messreihen dargestellt in Abbildung \ref{sup:fig:T_I6_1.jpg}, \ref{sup:fig:T_I60_1.jpg}, \ref{sup:fig:T_I600_1.jpg}.}
    \label{sup:tab:T_C_res1}
\end{table}
\noindent Um aus den zwei Werten pro Messreihe einen einzigen zu erhalten, wurde der Mittelwert aus beiden genommen und jeweils konservativ der größere Fehler der beiden ausgewählt.\\
Aus erneuter Mittelwertbildung erhält man schlussendlich für die Sprungtemperatur
\begin{equation}
    T_C = \left(9.461 \pm 0.008 \right)\SI{}{K},
    \label{eq_t_c}
\end{equation}
wobei erneut der größte Fehler aus den Ergebnissen in Tabelle \ref{sup:tab:T_C_res1} ausgewählt wurde.
Damit lässt sich die Energielücke berechnen zu
\begin{align}
    \Delta_0 = 1.764 k_B T_C =& \left(2.303 \pm 1.95 \cdot 10^{-2}\right) \cdot 10^{-26} \SI{}{J}\\
    =& \left(1.437 \pm 0.012 \right) \SI{}{meV}.
\end{align}
Es stellt sich natürlich die Frage, ob die Thermospannung im Messsystem der Diode einen weiteren
Fehler hinzufügen könnte. Die nachfolgende Abbildung zeigt die Diodenkennlinie.
\begin{figure} [H]
    \centering
    \includegraphics[width=9cm]{02_SUP/Diodenkennlinie.png}
    \caption{Diodenkennlinie}
    \label{sup:fig:Diodenkennlinie.png}
\end{figure}
Man erkennt, dass in dem ersten, linearen Teil etwa eine Steigung von $m = 0.0273\SI{}{\frac{V}{K}}$ vorliegt. Dies ergibt mit $m=\frac{\Delta U}{\Delta T}$ eine Unsicherheit, welche durch Thermospannung entsteht, von $\Delta T_{th} \approx 0.0018$, welcher bei Vergleich mit den Fehlern aus Tabelle \ref{sup:tab:T_C_res1} nicht zwingend vernachlässigbar, aber trotzdem klein ist. Wenn man diesen Fehler berücksichtigt, so erhält man für die thermisch korrigierte, kritische Temperatur zusammen mit der Eichgenaugkeit der Diode, welche in der Anleitung durch $0.5\,\SI{}{K}$ gegeben ist
\begin{align}
    T_{C,th} = \left(9.461 \pm 0.51 \right)\SI{}{K}
\end{align}
und damit anhand Gleichung \eqref{eq_t_c} für die Energielücke
\begin{align}
    \Delta_{0,th} = 1.764 k_B T_C =& \left(2.303 \pm 1.24\right) \cdot 10^{-26} \SI{}{J}\\
    =& \left(1.59 \pm 0.77 \right) \SI{}{meV},
\end{align}
wobei sich das Fehlerintervall durch die  Thermospannung, wie oben diskutiert, kaum von den Vorherigen unterscheidet - der hautpsächliche Beitrag entsteht hierbei durch die Eichgenaugkeit der Diode.




%DONE geeignete strategie zum T_C bestimmen überlegen & hinschreiben
%DONE T_C berechnen, Plots, Fehler
%DONE Gap berechnen, Fehler

\subsubsection{Restwiderstand}
Wie bereits bei der Bestimmung von $T_C$ in Abschnitt \ref{sup_ch_t_c} wird zuerst über den Aufwärm-, sowie über den Abkühlvorgang für jede Stromstärke gemittelt. Dafür erhalten wir
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c|c}
        \textbf{I [$\SI{}{mA}$]} & Abkühlen [$\SI{}{\Omega}$] & Aufwärmen [$\SI{}{\Omega}$] & \textbf{Mittel} [$\SI{}{\Omega}$] \\\hline
        $6$ & 2.0671 \pm 0.0145 & 2.0673 \pm 0.0130 & 2.0672 \pm 0.0145\\
        $60$ & 2.066 \pm 0.004 & 2.063 \pm 0.008 & 2.065 \pm 0.008\\ %
        $600$ & 2.082 \pm 0.005 & 2.078 \pm 0.008 & 2.080 \pm 0.008\\
    \end{tabular}
    \caption{Ergebisse für den Restwiderstand, gemittelt je Stromstärke.}
    \label{sup:tab:R_rest_res1}
\end{table}
\noindent Als Mittlung wurde erneut das arithmetische Mittel gewählt, für die Fehler wieder die jeweiligen Standardabweichungen gewählt.\\
Beispielhaft für $I=6 \SI{}{\mu A}$ im Aufwärmprozess sind die Messwerte in folgender Abbildung aufgetragen.
\begin{figure} [H]
    \centering
    \includegraphics[width=16cm]{02_SUP/Restwiderstand_I6_aufwaermen.jpg}
    \caption{Widerstands-Temperatur-Verlauf für Niob ($I=6 \SI{}{\mu A}$) während des Aufwärmens im Bereich des Restwiderstands. Die schwarze Linie gibt den Mittelwert aus Tabelle \ref{sup:tab:R_rest_res1} an, die roten Linien die entsprechenden Standardabweichungen.}
    \label{sup:fig:T_I600_1.jpg}
\end{figure}



\noindent Eine erneute Mittelwertbildung aus den (ungerundeten) Werten der rechten Spalte der Tabelle \ref{sup:tab:R_rest_res1} ergibt den Restwiderstand
\begin{align}
    R_{Rest}=(2.067 \pm 0.008)\SI{}{\Omega}.
    \label{sup:eq:r_0}
\end{align}
Der spezifische Restwiderstand berechnet sich über die Beziehung von A.F. Mayadas [\ref{sup_lit_1}], welche lautet
\begin{align}
    \rho = R_{Rest}\frac{bd}{l}.
\end{align}
Der Faktor $\frac{bd}{l}$ ist gegeben über die Breite $b=20 \cdot 10^{-6} \SI{}{m}$, die Dicke $200 \cdot 10^{-9} \SI{}{m}$ und der Länge $l=4 \cdot 10^{-3}\SI{}{m}$, woraus sich $\frac{bd}{l} = 1\cdot 10^{-9} \SI{}{m}$ und damit letztendlich
\begin{align}
    \rho = (2.067 \pm 0.008)\cdot 10^{-9} \SI{}{\Omega m}
    \label{sup:eq:rho}
\end{align}
ergibt. Nach Mayadas [\ref{sup_lit_1}] gilt für Niob:
\begin{equation}
    \rho\, l' = 3.72\cdot 10^{-6} \SI{}{\mu \Omega cm^2},
\end{equation}
womit man für die freie Weglänge $l'$ der Elektronen findet
\begin{equation}
    l' = (1.800 \pm 0.008) \cdot 10^{-7} \SI{}{m}.
\end{equation}
Mithilfe des Sommerfeld-Koeffizienten der spezifischen Wärme des Elektronensystems von
Niob gilt es nun den Ginsburg-Landau-Parameter $\kappa$ zu bestimmen. Dies erfolgt über die Beziehung aus W. Buckel und R. Kleiner [\ref{sup_lit_2}], welche lautet
\begin{align}
    \kappa = \kappa_0+7.5\cdot 10^{-3}\rho [\Omega cm] \gamma^{0.5},
\end{align}
mit $\gamma = 7.19 \cdot 10^3 \SI{}{\frac{erg}{cm^3 K^2}}$ und $\kappa_0 = 0.8$. Damit errechnet sich 
\begin{align}
    \kappa = 0.931 \pm 5.09 \cdot 10^{-4},
    \label{sup:eq:kappa}
\end{align}
womit $\kappa>\frac{1}{\sqrt{2}}$. Damit lässt  sich nach Mayadas [\ref{sup_lit_1}] schließen, dass es sich bei der Niob-Probe um einen Typ II Supraleiter handelt.


%DONE Restwiderstand R_0 bestimmen aus allen 6 Messungen (plots), Mitteln, Fehler
%DONE spez. Restwiderstand berechnen, Fehler
%DONE Mittlere freie Weglänge berechnen, Fehler
%DONE Kappa berechnen, Fehler, was ist der übergang zw. SL-I und SL-II, ist Niob I oder II (spoiler: II)







\newpage
\subsection{Messungen mit externem Magnetfeld}%Fabi stinkt nicht

\subsubsection{Flux Flow Resistance}
Wir haben Messungen bei Spulen-Stromstärken bis zu 12.5A durchgeführt. Die Ergebnisse sind in \autoref{sup:fig:collage} zu sehen, wobei hier immer nur der positive Teil gezeigt ist - für negative Stromstärken war der Verlauf einfach am Ursprung punktgespiegelt.

Mit Augenmaß wurde der lineare Teil ausgewählt und hier mithilfe linearer Regression eine Ausgleichsgerade durchgezogen. Deren Steigungen entsprechen nach \autoref{sup:eq:RFF} dem Flux Flow Widerstand $R_{\text{FF}}$ der Shubnikov-Phase bei dieser Magnetfeldstärke $B = 36.34\, \text{mT}/\text{A} \cdot I_{\text{Magnet}}$. In \autoref{sup:tab:RFF} sind die so berechneten Werte zusammengefasst, in \autoref{sup:fig:RnB} sind sie graphisch dargestellt.

Die Ausgleichsgerade aus \autoref{sup:fig:RnB} hat die im Intervall [2.5A, 7.5A] bzw. [100mT, 275mT] gültige Gleichung
\begin{equation}
    \frac{R_{\text{FF}}(B)}{\Omega} =(-0.68 \pm 2.16 \cdot 10^{-3}) + (0.01 \pm 0.016 \cdot 10^{-3})\frac{B}{\text{mT}}
    \label{SUP:eq:ausgleichsgerade}
\end{equation}
Löst man diese Gleichung für $B$ und setzt für $R_{\text{FF}}$ den Restwiderstand aus \autoref{sup:eq:r_0} ein, so erhält man einen experimentellen Wert für $B_C_2$:
\begin{equation}
    \frac{B_{C_2}^{\text{exp}}}{\text{mT}} = 264.1 \pm 1.4 %stimmt
    \label{SUP:eq:BC2}
\end{equation}
Hier ergiergab sich der Fehler für die zwei Koeffizienten in \autoref{SUP:eq:ausgleichsgerade} aus der Fehlermatrix bei der linearen Regression, und der Fehler in \autoref{SUP:eq:BC2} wurde mithilfe der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung berechnet. Nach der Anleitung, Tabelle 2, ist der Wert für Niob 270mT, was also nicht in unserem Fehlerbereich liegt, aber sehr nahe ist.

Hierraus kann man die Kohärenzlänge berechnen:
\begin{equation}
    \xi 
    = \sqrt{\frac{0.95\sqrt{3}\Phi_0}{\pi^2B_{C_2}}} 
    = \left( 36.156\pm 0.096 \right) \text{nm}
\end{equation}
Hier ist der in der Anleitung tabellierte Wert 38nm, was also wieder nahe liegt, aber nicht im Fehlerintervall.

Mit \autoref{sup:eq:kappa} kann man nun auch die Eindringtiefe ausrechnen:
\begin{equation}
    \lambda = \kappa \xi = (33.66 \pm 0.11)\, \text{nm} 
\end{equation}
Die Dämpfungskonstante lässt aus $B_{C_2}$ unter Benutzung von \autoref{sup:eq:rho} errechnen:
\begin{equation}
    \eta
    = \frac{\Phi_0 B_{C_2}}{\rho}
    = (2.645 \pm 0.024) \cdot 10^{-4}\, \text{Ns}
\end{equation}
In \autoref{sup:fig:aprikose} sind die berechneten Größen in der Nähe einer Flusslinie skizziert.

Zum Abschluss betrachten wir noch einen der Punkte aus dem $U(I)$-Diagramm mit $I_{Magnet} = 6.3 \text{A}$ bzw. $B = 228.94 \text{mT}$. Ein beliebig gewählter Punkt im Bereich der Ausgleichsgerade hat die Koordinaten $I=0.040066529 \text{A}$, $U=0.028881073 \text{V}$. Daraus ergibt sich die Änderungsrate der Flusslinienzahl $N$...
\begin{equation}
    \frac{dN}{dt} = \frac{U}{\Phi_0} = 1.40 \cdot10^{13} \frac{1}{\text{s}} %stimmt
\end{equation}
...die Flussliniendichte $\bar{\rho}$ sowie $N$ selbst...
\begin{align}
    \bar{\rho} &= \frac{N}{A} = \frac{B}{\Phi_0} = 1.11 \cdot10^{14} \frac{1}{\text{m}^2}\\ %stimmt
    N &= \bar{\rho} A =  1.11 \cdot10^{14} \frac{1}{\text{m}^2} \cdot 4\text{mm} \cdot 20 \text{µm} = 8.857 \cdot 10^6 %korrigiert
\end{align}
...und die Geschwindigkeit, mit denen sich die Vertices bewegen.
\begin{equation}
    v = b \frac{dN}{dt}/N = 20 \, \text{µm} \cdot \frac{1.40 \cdot10^{13} \frac{1}{\text{s}} }{ 8.857 \cdot 10^6} =  31.61 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} %korrigiert
\end{equation}
%DONE Anzahl flusslinien/sekunde berechnen
%DONE Dichte Flusslinien berechnen
%DONE geschw. flusslinien berechnen


\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=16cm]{02_SUP/collage.png}
    \caption{Auswahl unserer Messungen (blau) bei verschiedenen Stromstärken, mit Ausgleichsgeraden (rot) durch den linearen Teil}
    \label{sup:fig:collage}
\end{figure}

\begin{table}
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c|c}
        $I$ [A] & $B$ [mT] & $R_{\text{FF}}$ [$\Omega$] & $\Delta R_{\text{FF}}$ [m$\Omega$] \\\hline
        2.5 & 90.85   & 0.27 & $\pm$   1.04 \\\hline
        3.5 & 127.19  & 0.60 & $\pm$   2.40 \\\hline
        4.5 & 163.53  & 1.08 & $\pm$   6.37 \\\hline
        5.3 & 192.60  & 1.27 & $\pm$   7.12 \\\hline
        5.5 & 199.87  & 1.23  & $\pm$   3.49 \\\hline
        5.8 & 210.77  & 1.61  & $\pm$   12.01  \\\hline
        6.3 & 228.94  & 1.65  & $\pm$   4.02 \\\hline
        6.5 & 236.21  & 1.71  & $\pm$   5.54 \\\hline
        6.7 & 243.48  & 1.96  & $\pm$   7.59 \\\hline
        7.0 & 254.38  & 2.21   & $\pm$  11.80 \\\hline
        7.5 & 272.55  & 2.53  & $\pm$   6.06 \\\hline
        8.5 & 308.89  & 2.08  & $\pm$   1.15 \\\hline
        9.5 & 345.23  & 2.09  & $\pm$   0.79 \\\hline
        10.5& 381.57  & 2.07   & $\pm$   1.14 \\\hline
        11.0& 399.74  & 2.08  & $\pm$   0.41 \\\hline
        12.5& 454.25  & 2.05  & $\pm$   0.38 \\\hline
    \end{tabular}
    \caption{Ergebisse für $R_{\text{FF}}$ aus den Betrachtungen in \autoref{sup:fig:collage}}
    \label{sup:tab:RFF}
\end{table}
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=15cm]{02_SUP/RnB.png}
    \caption{Graphische Darstellung der Daten aus \autoref{sup:tab:RFF} (schwarz, Fehlerbalken sehr klein) und durch lineare Regression gefundene Ausgleichsgerade (rot)}
    \label{sup:fig:RnB}
\end{figure}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=12cm]{02_SUP/Wirbel1.jpg}
    \caption{Ordnungsparameter n und Magnetfeld B in der Nähe eines
Flusswirbels}
    \label{sup:fig:nnB}
\end{figure}



%DONE von allen messungen einen linearen fit machen, plots, verlauf erklären
%DONE aus steigung R_FF berechnen mit Fehler
%DONE plot R_FF(B) mit ausgleichsgerade durch relavante Punkte

%DONE aus steigung B_C2 bestimmen, Fehler, vergleichen
%DONE kohärenzlänge berechnen, fehler
%DONE dämpfungskonstante eta berechnen, fehler
%DONE eindringtiefe lamda berechnen, fehler
%TODO skizze




\newpage

\section{Literatur}

\begin{enumerate}
    \item \label{sup_lit_1} [1] A.F. Mayadas. Electrical Characteristics of rf-Sputtered Single-Crystal Niobium Films. Journal of
Applied Physics, 43:1287, 1972

\item \label{sup_lit_2} [2] W. Buckel und R. Kleiner. Supraleitung. VCH, Weinheim, 2004 (6.Auflage)
\end{enumerate}




\end{document}