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      {\ensuremath{\cdot 10^{#1}\;\mathrm{#2}}}
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\date{\today}

\begin{document}

\begin{titlepage}
	\centering
	{\scshape\LARGE Universität Tübingen \par}
	\vspace{1cm}
	{\scshape\Large Versuch 5\par}
	\vspace{1.5cm}
	{\huge\bfseries Statische und dynamische Lichtstreuung (DSLS)\par}
	\vspace{2cm}
	{\Large\itshape \underline{Simon Kochsiek} und Tom von Scheven \par}
	\vfill
	Gruppe 2, Betreuer: \par
	Hans Joachim Schöpe
	\vfill
	Durchführungsdatum: \par
	08.12.20

	\vfill


	{\large Erstabgabe: 29. Dezember 2020 \par}
    {Version 1: 29. Dezember 2020 \par}
    {Version 2: 31. Dezember 2020 \par}

\end{titlepage}

\newpage
\tableofcontents
\newpage
\listoffigures
\listoftables
\newpage

\section{Zielsetzung}
Ziel des Versuches ist das Bestimmen der Größe und Anordnung von Partikeln in kolloidalen Systemen.

\section{Theoretische Grundlagen}
Bei einem kolloidales System beschreibt handelt es sich um ein heterogenes Gemisch, in welchem eine dispersive Phase fein in einem Dispersionsmedium verteilt sind. Diese Partikel sind in Größenordnung einer \(\unit{nm}\) bis wenigen $\unit{\mu m}$. Dieser Größenbereich wird mesoskopischer Bereich genannt. \\
In dem Fall, dass alle Partikel dieselbe Form und Größe besitzen, handelt es sich um ein monodispersives System. Wenn dies nicht der Fall ist, spricht man von einem polydispersiven System. Die Polydispersität $\sigma$ kann als Maß für die Breite der Teilchenvergrößerung genommen werden. Diese ist geben durch:
\begin{align*}
    \sigma^2 &= \frac{\langle(a-a_0)^2\rangle}{a_0^2}
\end{align*}
Hierbei ist $a_0$ der Mittelwert des Partikelradius und $a$ der Partikelradius.
\subsection{Brownsche Molekularbewegung}
Durch die endliche Temperatur kommt es zu einer Bewegung der Teilchen im Kolloid. Durch den Stöße zwischen den Teilchen des Dispersionsmediums und der Partikel, kommt es zu einem Impulsübertrag, und somit zu einer Brown'schen Molekularbewegung. Für die Brownsche Molekularbewegung ist es möglich das mittlere Verschiebungsquadrat der Partikel zu bestimmen. Man findet hierfür:
\begin{align*}
    w(t) &= \frac{1}{6} \langle \left| \vec{r}(t) - \vec{r}(t) \right|^2 \rangle \\
    &= D t
\end{align*}
Hierbei ist $D$ der Selbstdiffusionskoeffizient. Der mittlere Weg, den ein Teilchen somit in der Zeit $t$ zurücklegt gegeben durch:
\begin{align*}
    \Delta r &= \sqrt{6 w(t)} \\
    &= \sqrt{6 D t}
\end{align*} 
In hochverdünnten Suspensionsmedien ist der Selbstdiffusionskoeffizient der freie Selbstdiffusionskoeffizient und somit:
\begin{align*}
    D &= D_0 \\
    &= \frac{k_B T}{6 \pi \eta a_H}
\end{align*}
mit der Viskosität $\eta$, die hydrodynamische Teilchengröße $a_H$ (welche etwas größer als der geometrische Radius ist) und der Temperatur $T$. 
\subsection{Statische Lichtstreuung}
Mithilfe der Statischen Lichtstreuung soll die Strukturelle Anordnung und die Struktur der Partikel bestimmt werden. Dies wird durch folgendes Streuexperiment realisiert:
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{streuexperiment_sls.PNG}
    \caption{Streuexperiment Statische Lichtstreuung \tiny{Quelle: \cite{Lit2}, Kapitel 2.2.1}}
\end{figure}
Hierbei beschreibt $\vec{k_e}$ den Wellenvektor des einfallenden Lichtes, $\vec{k_s}$ den Wellenvektor des streuenden Lichtes, $\Theta$ den Streuwinkel, $n_p$ den Brechungsindex des Partikels und $n_m$ den Brechungsindex des Mediums. Man erhält den Streuvektor $\vec{q} $ aus der Differenz der beiden Wellenvektoren. Durch Geometrie gelangt man zu:
\begin{align*}
    \left|\vec{q} \right| &= \frac{4 \pi n_s}{\lambda} \sin\left(\frac{\Theta}{2}\right)
\end{align*}
Mit der Wellenlänge $\lambda$.\\
Man gelangt allgemein zu einer Streuintensität von:
\begin{align*}
    I_s(\vec{q}, t) &= \left| E_s(\vec{q},t) \right|^2 \\
    &= \frac{E_0 ^2}{r_D^2} \sum_{j = 1}^N \sum_{k = 1}^N b_j\left(\vec{q},t\right) b_k\left(\vec{q},t\right)^{*} e^{- i \vec{q} \left( \vec{R_j}(t) - \vec{R_k}(t)\right)} 
\end{align*}
Durch zeitliche Mittelung erhält man die für die statische Lichtstreuung interessante Intensität:
\begin{align*}
    \langle I_s(\vec{q})\rangle_t &= \frac{E_0^2}{r_D^2} N \left| b (0)\right|^2 \left| \frac{b(\vec{q})}{b(0)} \right| \langle \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^N \sum_{k = 1}^N e^{- i \vec{q} \left( \vec{R_j}(t) - \vec{R_k}(t)\right)} \rangle_t 
\end{align*}
An dieser Stelle wurde bereits angenommen, dass jeder Partikel denselben Streuquerschnitt $\left| b(0)\right|^2$ und Formfaktor:
\begin{align}
    P(q) &= \left| \frac{b(\vec{q})}{b(0)} \right|^2
\end{align}
besitzt. Der Strukturfaktor $S (\vec{q})$ ist gegeben durch:
\begin{align}
    S(\vec{q}) &=  \frac{1}{N} \langle \sum_{j = 1}^N \sum_{k = 1}^N e^{- i \vec{q} \left( \vec{R_j}(t) - \vec{R_k}(t)\right)} \rangle_t 
\end{align}
Es ist allgemein hierbei $N$ die Anzahl der Streupartikel, $\vec{R}_{j/k}$ der Ortsvektor des $j/k$-ten Partikels und $r_D$ der Abstand der Probe zum Detektor. Der Strukturfaktor gibt Aufschluss über die interpartikuläre Streuung und damit über die Anordnung der Partikel. Der Formfaktor der Partikel $P(q)$ entsteht durch intrapartikuläre Interferenz und lässt somit Rückschlüsse auf die Form und Größe der Teilchen zu. In der Rayleigh-Debye-Gans (RDG)-Näherung findet man für monodispersive Systeme:
\begin{align}
    P(q,a)_{RDB,mono} &= \frac{9}{(qa)^6} \left( \sin(qa) - qa \cos(qa)\right)^2
\end{align}
Für polydispersive Systeme 
\begin{align}
    P(q,a, \sigma)_{RDB,poly} &= \frac{P(q,a(1-\sqrt{3}\sigma))_{RDB,mono}}{6} + \frac{P(q,a(1+\sqrt{3}\sigma))_{RDB,mono}}{6} + \frac{2 P(q,a)_{RDB,mono}}{3}
\end{align}
Für den Fall einer Gasförmigen Phase der Partikel im Dispersionsmedium, geht der Strukturfaktor $S(\vec{q})$ gegen $1$. Somit ist in diesem Fall 
\begin{align}
    \langle I_s(\vec{q}) \rangle_t \propto P(q)
\end{align}
\subsection{Dynamische Lichtstreuung}
Aufgrund der Brown'schen Molekularbewegung kommt es zu einer zeitlichen Änderung der Phasenbeziehungen der Partikeln und damit zu seiner zeitlichen Fluktuation der Streuintensität. In der homodynen Lichtstreuung werden die zeitlichen Fluktuationen der Intensität miteinander korreliert. Dies führt zur Intensitätsautokorrelationsfunktion.
\begin{align*}
    G^{(2)}(q,t,\tau) &= \lim_{T \rightarrow \inf} \frac{1}{T} \int_0^T I(t+t') I*(t+t'+\tau) dt' \\
    &= \langle I(q,t) I*(q,t+\tau) \rangle_T
\end{align*}
Es ist meist praktischer die normierte Autokorrelationsfunktion (AKF) zu betrachten.
\begin{align*}
    g^{(2)}(q,\tau) &= \frac{\langle I(q,0) I^*(q,\tau) \rangle}{\langle I(q) \rangle^2}
\end{align*}
Unter Zuhilfenahme der Siegert-Relation ist es möglich den normierten dynamischen Strukturfaktor $f(q,\tau)$ durch die normierte Autokorrelationsfunktion $g^{(2)}$ und dem Kohärenzfaktor $\beta$ auszudrücken:
\begin{align}
    f(q,\tau) &= \sqrt{\frac{g^{(2)}(q,\tau)- 1}{\beta}}
\end{align} 

\newpage
\section{Durchführung}
\subsection{Versuchsaufbau}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{Versuchsaufbau.PNG}
    \caption{Versuchsaufbau \tiny{Quelle: \cite{Lit2}, Kapitel 3 }}
\end{figure}
\subsection{Versuchsdurchführung}
Im Versuch sollte der Partikelformfaktor, der statische Strukturfaktor und die Intensitätsautokorrelationsfunktion mehrerer Proben bestimmt werden. 
\subsubsection{Bestimmung des Partikelformfaktors durch statische Lichtstreuung}
Zur Bestimmung des Partikelformfaktors, wurden drei verschiedene Proben mittels statischer Lichtstreuung betrachtet. Zunächst wurde das Streumuster einer Eichprobe mit Rayleigh-Streuern bestimmt. Daraufhin wurden die Streumuster $E4$ bis $E6$ im Winkelbereich von $40^{\circ}$ bis $140^{\circ}$  mit einer Schrittweite von $5^{\circ}$ gemessen. Für jeden Messpunkt wurde über $5 $s gemittelt. Aus diesen Daten soll in der Auswertung die Partikelgröße und die Polydispersität im Rahmen der Rayleigh-Debye-Gans-Näherung bestimmt werden.
\subsubsection{Bestimmung des statischen Strukturfaktors durch statische Lichtstreuung}
Im zweiten Versuchsteil, wurde im Winkelbereich von $40^{\circ}$ bis $150^{\circ}$ mit einer Schrittweite von $0.25 ^{\circ}$ die Streuintensitäten von einer strukturlosen und zwei Proben mit struktureller Ordnung das Streumuster aufgenommen. Es wurde dieses Mal für jeden Messpunkt $0.5$ bis $1$ s gemittelt. Später sollen diese Daten die Bestimmung der Strukturfaktoren der Proben ermöglichen.
\subsubsection{Bestimmung der Intensitätsautokorrelationsfunktion}
Im letzten Versuchsteil wurde die Intensitätsautokorrelationsfunktion der Proben bei jeweils vier verschiedenen Winkeln bestimmt. Für die Proben $E 4$ und $E 5$ wurden die Winkel $50^{\circ}, 70^{\circ}, 90^{\circ},110^{\circ}$ und für Probe $E_6$ die Winkel $30^{\circ},40^{\circ},50^{\circ}, 55^{\circ} $ verwendet. Dies soll die Bestimmung der Diffusionskoeffizienten und der hydrodynamischen Radien ermöglichen. Es wurde bei jeder Messung über $30$ Sekunden gemittelt.
\newpage

\section{Auswertung}
\subsection{Bestimmung des Partikelformfaktors durch statische Lichtstreuung}
Für die Messung der Rayleighstreuers ergab sich:
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=12cm]{v1_eichprobe.png}
    \caption{Messsignal Rayleighstreuer}
\end{figure}
\noindent
Die Photospannung des Rayleighstreuers ist nicht, wie man zunächst erwarten würde, konstant. Dies darauf zurückzuführen, dass Aufgrund von Transmission durch die Flüssigkeit nicht das gesamte Licht am Streuprozess teilnimmt.
Um diesen in den Proben herauszufiltern, werden die Streuintensität der anderen drei Proben mit anhand der Streuintensitäten des Rayleighstreuers normiert. 
\newpage Es ergibt sich somit für diese:
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=12cm]{v1_normierteSteuintensitaeten_nachWinkel.png}
    \caption{normierte Streuintensitäten der Proben}
\end{figure}
\noindent
An diese lässt sich zunächst der monodispersive RDG-Formfaktor an fitten. Diese ist nach der Theorie gegeben durch \[I_m \propto \left(\frac{3}{(qR)^3}(\sin(qR)-qR\cdot \cos(qR)\right)^2\] \\
Es ergibt sich für jede Probe der Verlauf:
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=10cm]{v1_mono_probe1.png}
    \caption{normierte Streuintensitäten $E4$ mit monodispersiven Fit}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=10cm]{v1_mono_probe2.png}
    \caption{normierte Streuintensitäten $E5$ mit monodispersiven Fit}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=10cm]{v1_mono_probe3.png}
    \caption{normierte Streuintensitäten $E6$ mit monodispersiven Fit}
\end{figure}
\noindent
In den Fits wurden die Datenpunkte mit ihrem zugehörigem Fehler gewichtet. Aus den Fits lässt sich nun der Partikelradius ablesen:
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{cc} \toprule
    Probe & $R_{mono}$ in $\unit{nm}$ \\ \midrule
    1     &        \(65.8 \pm 35.4\)                   \\
    2     &        \(152.9 \pm 7.5\)           \\
    3     &        \(309.5 \pm 43.1\)             \\ \bottomrule     
    \end{tabular}
    \caption{Aus den monodispersiven Fits bestimmte Partikelradien}
\end{table}
\newpage
\noindent Mithilfe der Polydispersiven Formel:
\[I_p (q,R,\sigma) \propto \left(\frac{1}{6}I_m(q,R(1-\sqrt{3}\sigma))+\frac{2}{6}I_m(q,R)+\frac{1}{6}I_m(q,R(1+\sqrt{3}\sigma))\right)\]
erhielten wir folgende Fits für die Streuintensitäten:
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=10cm]{v1_poly_probe1.png}
    \caption{normierte Streuintensitäten $E4$ mit monodispersiven Fit}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=10cm]{v1_poly_probe2.png}
    \caption{normierte Streuintensitäten $E5$ mit monodispersiven Fit}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=10cm]{v1_poly_probe3.png}
    \caption{normierte Streuintensitäten $E6$ mit monodispersiven Fit}
\end{figure}
\noindent
Die hieraus bestimmten Partikelradien \(R_{poly}\) und \(\sigma\) waren:
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{ccc} \toprule
    Probe & $R_{poly}$ in $\unit{nm}$ & \(\sigma\) in \%\\ \midrule
    1     &        \(67.72 \pm 12.17\)    &   \(48.44 \pm 14.36\)            \\
    2     &        \(153.15 \pm 2.36\)      &   \(13.39 \pm 6.73\)  \\
    3     &        \(361.98 \pm 6.74\)      &     \(10.00 \pm 13.25\)  \\ \bottomrule     
    \end{tabular}
    \caption{Aus den monodispersiven Fits bestimmte Partikelradien}
\end{table}
%\noindent Es ist nun noch möglich die gemessenen Daten mit den Mie-Formfaktoren zu vergleichen. Hierzu wurden normierten wir unsere Daten und die aus den Mie-Formfaktoren auf die Intensität bei \(100^{\circ}\).
\newpage
\subsection{Bestimmung des statischen Strukturfaktors durch statische Lichtstreuung}
Aufgrund der Tatsache, dass es sich bei den verschiedenen Proben, um die gleichen Teilchen handelt, gilt:
$$ I(q) \propto S(q) $$
Für die gasähnliche Probe erhielten wir:
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=10cm]{v2_Streuintensitaet_Eichprobe.png}
    \caption{normierte Streuintensitäten fluide Struktur}
\end{figure}
\noindent
Um Fehler herauszufiltern, werden auch hier die anderen beiden Problem wieder mit den Streuintensitäten der gasähnlichen Probe normiert. Es ergibt sich somit für die Verläufe der statischen Strukturfaktoren:
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=10cm]{v2_Streuintensitaet_fluessig.png}
    \caption{normierte Streuintensitäten feste Struktur (Gitterkonstante 1)}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=10cm]{v2_Streuintensitaet_fest.png}
    \caption{normierte Streuintensitäten kristalline Struktur (Gitterkonstante 2)}
\end{figure}
\noindent
Bei den Streuintensitäten der kristallinen Strukturen (Abb.12, 13) sehen wir - wie erwartet - scharfe Peaks.
Aus diesen können wir nun Aussagen über die Gitterstrukturen treffen.\\
Es ist also nun möglich die Kristallstruktur und Gitterkonstante der kristallinen Proben zu bestimmen. Hierzu betrachten wir zunächst die bereits aus dem Theorieteil bekannte Formel:
\begin{align*}
    \left| \vec{q} \right| &= \frac{4 \pi}{\lambda} n \sin\left(\frac{\Theta}{2} \right)
\end{align*}
Hierbei ist $n$ der Brechungsindex des Dispersionsmediums, welches in unserem Fall Wasser war. Es gilt also $n = 1.33$. Mithilfe der Bragg-Bedingung:
\begin{align*}
    2 d \sin \left(\frac{\Theta}{2}\right) &= m \lambda
    \intertext{Hierbei ist $m \in \mathbb{N}$. Der Abstand zweier Gitterebenen ist gegeben durch:}
    d_{hkl} &= \frac{a}{\sqrt{h^2 +k^2 +l^2}} 
\end{align*}
Es ist somit möglich den Sinus in der aus dem Theorieteil bekannten Formel zu ersetzten und man erhält somit für $q^2$:
\begin{align}
    q^2 = \frac{4 \pi^2}{a^2} \left(h^2 + k^2 +l^2\right) 
\end{align}
Mittels der bekannten Gitterstrukturfaktoren für einatomige sc, bcc und fcc Gitter ist es möglich die Miller'schen Indizes zu bestimmen, bei denen konstruktive Interferenz stattfindet (Peaks). Bei einem simple cubic (sc) findet bei allen $hkl$ konstruktive Interferenz statt. Bei einem base centered cubic (bcc) muss die Summe $h+k+l$ grade sein, damit es zu Maximum kommt. Bei einem face centered cubic (fcc) müssen $h,k,l$ entweder alle gerade oder ungerade sein, um konstruktive Interferenz zu erlangen. Die ersten möglichen Reflexe ergeben sich somit zu:
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{cc}
        \toprule
    $hkl$ & $h^2 +k^2 +l^2$ \\ \midrule
        100  &       1          \\
        110  &      2           \\
        111  &     3            \\
        200  &    4            \\ \bottomrule
    \end{tabular}
    \caption{Konstruktive Interferenz bei sc Gitter}
\end{table}
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{cc}
        \toprule
    $hkl$ & $h^2 +k^2 +l^2$ \\ \midrule
     110     &       2          \\
     200     &      4           \\
     211     &     6            \\
     220     &    8            \\ \bottomrule
    \end{tabular}
    \caption{Konstruktive Interferenz bei bcc Gitter}
\end{table}
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{cc}
        \toprule
    $hkl$ & $h^2 +k^2 +l^2$ \\ \midrule
    111      &    3             \\
    200      &   4              \\
    220      &  8               \\
    311      & 11               \\ \bottomrule
    \end{tabular}
    \caption{Konstruktive Interferenz bei fcc Gitter}
\end{table}
Für die gemessenen Peaks der ersten kristallinen Struktur erhalten wir:
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{cc}
        \toprule
    Peak & Position $q$ in \(\unit[7]{\frac{1}{m}}\) \\ \midrule
    1      &  \(1.204 \pm 0.215\)               \\
    2      &  \(1.693 \pm 0.058\)              \\      
    3      &  \(2.099 \pm 0.240\)               \\
    4      &  \(2.427 \pm 0.280\)               \\ \bottomrule
    \end{tabular}
    \caption{Peaks der kristallinen Struktur mit GK 1}
\end{table}

Für die gemessenen Peaks der zweiten kristallinen Struktur erhalten wir:
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{cc}
        \toprule
    Peak & Position $q$ in \(\unit[7]{\frac{1}{m}}\) \\ \midrule
    1      &    \(1.350 \pm 0.022\)            \\
    2      &   \(1.904 \pm 0.014 \)              \\      
    3      &  \(2.340 \pm 0.067\)               \\ \bottomrule
    \end{tabular}
    \caption{Peaks der kristallinen Struktur mit GK 2}
\end{table}

\noindent Als Unsicherheit haben wir hier die Halbwertsbreite genutzt. Wenn man nun die Verhältnisse der Positionen $q^2$ zueinander betrachtet und mit den Verhältnissen der $h^2 +k^2 +l^2$ der Gitterstrukturen vergleicht, fällt auf dass es sich hier nur um ein BCC oder ein SC- Gitter handeln kann. Da der zweite Peak doch etwas niedriger als der erste ist, schließen wir bei beiden Proben auf ein \emph{BCC}-Gitter. Plottet man nun die Positionen der Peaks gegenüber der $h^2+k^2+l^2$ erhält man:
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{Verlauf_Positionen_gege_Bragg_fest1.png}
    \caption{Peakpositionen $q^2$ gegen $h^2+k^2+l^2$ bei GK 1}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{Verlauf_Positionen_gege_Bragg.png}
    \caption{Peakpositionen $q^2$ gegen $h^2+k^2+l^2$ bei GK 2}
\end{figure}
\noindent
Die Steigung der Ausgleichsgraden ergibt sich zu:
$$ m_1 = \frac{4 \pi^2}{a^2} = \left( 7.431 \pm 0.712 \right) \unit[13]{\frac{1}{m^2}} $$
bzw. für die zweite Kristallstruktur zu:
$$ m_2= \frac{4 \pi^2}{a^2} = \left(9.133 \pm 0.871 \right) \unit[13]{\frac{1}{m^2}} $$

Somit erhalten wir für die Gitterkonstante $a_2$:
$$ a_1 = \left( 728.88\pm 34.92\right) \unit{nm} $$
und 
$$ a_2 = \left(657.5 \pm 31.4\right) \unit{nm} $$
Da in einem BCC-Gitter 2-Teilchen in einer Einheitszelle vorkommen, ist die Teilchenzahldichte des Kristalles:
\begin{align*}
    \rho_1 &= \frac{Anzahl Teilchen}{a^3} \\
    &= \left(5.165\pm 0.855\right) \unit[18]{\frac{1}{m^3}}
\end{align*}
\begin{align*}
    \rho_2 &= \frac{Anzahl Teilchen}{a^3} \\
    &= \left(7.036\pm 1.008\right) \unit[18]{\frac{1}{m^3}}
\end{align*}

\newpage
\subsection{Bestimmung der Intensitätsautokorrelationsfunktion}
Im dritten Versuchsteil sollte die Intensitätsautokorrelationsfunktion bestimmt werden. Die gemessenen Daten erlaubten folgenden Verlauf:
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[]{v3_E4.png}
    \caption{Intensitätsverlauf der ersten Probe bei verschiedenen Winkeln}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[]{v3_E5.png}
    \caption{Intensitätsverlauf der zweite Probe bei verschiedenen Winkeln}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[]{v3_E6.png}
    \caption{Intensitätsverlauf der dritten Probe bei verschiedenen Winkeln}
\end{figure}
\noindent
Es ist gut zu sehen, dass bei langen Zeiten ein großes Rauschen auftritt. Um die Diffusionskoeffizienten zu bestimmen, wird die Kumulantenanalyse verwendet. Hierbei wird eine logarithmierte, normierte Intensitätsautokorrelationsfunktion an ein Polynom angefittet. Für ein Polynom zweiter Ordnung erhält man:
\begin{align}
    \ln\left(g^{(2)} - 1 \right) &= \ln\left(\beta\right) - 2 q^2 D_0 t\\
    &\approx \ln\left(\beta\right) - K_1 t + \frac{K_2}{2} t^2
\end{align}
Aus den Parametern \(K_1\) und \(K_2\) lässt sich nun der Diffusionskoeffizient \(D_0\), den hydrodynamischen Radius \(a_H\) und die Größenpolydispersivität \(\sigma\) bestimmen. Dies geschieht über:
\begin{align*}
    D_0 &= \frac{K_1}{2 q^2} \\
    a_H &= \frac{k_B T q^2}{3 \pi \eta K_1} \\
    \sigma &= \frac{\sqrt{K_2}}{K_1}
\end{align*}
Aus den gemessenen Daten erhält man die Fits:
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[]{v3_E4_fit.png}
    \caption{Intensitätsverlauf der ersten Probe bei verschiedenen Winkeln}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[]{v3_E5_fit.png}
    \caption{Intensitätsverlauf der zweite Probe bei verschiedenen Winkeln}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[]{v3_E6_fit.png}
    \caption{Intensitätsverlauf der dritten Probe bei verschiedenen Winkeln}
\end{figure}
\noindent
An dieser Stelle wurde, um nicht das zuvor beobachtete Rauschen bei großen Zeiten zu berücksichtigen, nur die Daten ausgewählt, welche mindestens \(60 \%\) der Anfangsamplitude besitzen für die Fits verwendet. An dieser Stelle sei angemerkt, dass wir zuerst eine Schwelle von \(70 \%\) des Startwertes benutzen wollten. Da hierbei aber die Fits eine relativ großes Konfidienzintervall besaßen, wählten \(60 \%\) um mehr Datenpunkte zu berücksichtigen und somit die Unsicherheit etwas zu senken. Um ebenso Fehler durch das Rauschen bei sehr kleine Zeiten auszuschließen, wurden jeweils die ersten \(15\) Messpunkte auch nicht berücksichtigt. 
Man erhält für unsere gemessenen Daten je nach Streuwinkel:
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{cccc} \toprule
    Winkel in Grad & \(D_0 \) in \( \unit[-12]{\frac{ m^2}{s}} \) & \( a_H \) in $\unit{nm}$ & $\sigma$ in \% \\ \midrule
    \(50\) & \(2.748 \pm 0.007\)& \( 88.85 \pm 0.22\)&  \(26.86 \pm 0.77\)  \\
    \(70\) &\(2.696 \pm 0.011\)& \(90.56 \pm 0.36\) & \(6.82 \pm 5.75\)   \\
    \(90\) &  \(2.717 \pm 0.023\) & \(89.87 \pm 0.75\) &\(16.66 \pm 4.70\)  \\
    \(110\) &\(2.678 \pm 0.017\)  &  \(91.12 \pm 0.59\) & \(17.63 \pm 3.59\)  \\ \midrule
    Durchschnitt & \(2.718 \pm 0.014 \) & \(89.8 \pm 0.48 \) & \(22.67 \pm 3.70\) \\
    \bottomrule           
    \end{tabular}
    \caption{Daten der ersten Probe E4 je nach Streuwinkel}
\end{table}
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{cccc} \toprule
    Winkel in Grad & \(D_0 \) in \( \unit[-12]{\frac{ m^2}{s}} \) & \( a_H \) in $\unit{nm}$ & $\sigma$ in \% \\ \midrule
    \(50\) &\(1.318 \pm 0.006\)    &  \(185.12 \pm 0.78\) &   \(16.35 \pm 8.14\)       \\
    \(70\) &\(1.326 \pm 0.013\)    & \(184.11 \pm 1.83\)   &  \(16.88 \pm 17.96\)     \\
    \(90\) &\(1.297\pm 0.022\) &  \(188.26 \pm 3.16\)   &   \(18.59 \pm 15.12\)       \\
    \(110\) & \(1.192 \pm 0.021\) &   \(204.78 \pm 3.59\)   &   \(13.91 \pm 14.96\)  \\ \midrule
    Durchschnitt & \( 1.300\pm 0.015 \) & \(187.6 \pm 2.3 \) & \(16.40 \pm 14.04\) \\ \bottomrule     
    \end{tabular}
    \caption{Daten der zweiten Probe E5 je nach Streuwinkel}
\end{table}
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{cccc} \toprule
    Winkel in Grad & \(D_0 \) in \( \unit[-13]{\frac{ m^2}{s}} \) & \( a_H \) in $\unit{nm}$ & $\sigma$ in \% \\ \midrule
    \(30\)& \(6.927 \pm 0.010\)   &   \(352.41 \pm 0.53\)  &\(32.51 \pm 0.46\)\\
    \(40\)&   \(7.264 \pm 0.071\)   &   \(336.10 \pm 3.29\)   &   \(21.04 \pm 4.58\) \\
    \(50\)&  \(6.775 \pm 0.029\)& \(360.34 \pm 1.53\)  &  \(19.66 \pm 3.25\)  \\
    \(55\)&  \(6.596 \pm 0.042\)  &\(370.12 \pm 2.36\) &   \(20.97 \pm 4.30\)  \\ \midrule
    Durchschnitt & \( 6.877\pm 0.038 \) & \(354.8\pm 1.9\) & \(29.40\pm 3.15\) \\ \bottomrule       
    \end{tabular}
    \caption{Daten der dritten Probe E6 je nach Streuwinkel}
\end{table}
Wir gelangen somit zu einem Verlauf der hydrodynamischen Radien gegen den Streuvektoren.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[]{v3_aH_gegen_q.png}
    \caption{hydrodynamische Radien gegenüber der Streuvektoren}
\end{figure}
\noindent
Um die hydrodynamischen Radien, welche im ersten Versuchsteil bestimmt wurden mit den aus diesem Versuchsteil zu vergleichen, wurden diese gegeneinander aufgetragen. 
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=12cm]{v4_sls_vs_dsls.png}
    \caption{Vergleich hydrodynamische Radien aus Versuchsteil eins gegenüber den aus Versuchsteil drei}
\end{figure}
\noindent
Zur Veranschaulichung wurde eine Winkelhalbierende eingezeichnet. Diese würde den Fall, dass man aus der DLS und der SLS die selben Radien bekommt widerspiegeln. \\
In unserem Fall sehen wir, dass die Radien aus der statischen Lichtstreuung meisten etwas kleiner als die aus der dynamischen Lichtstreuung sind. Dies könnte durch elektroviskose Effekte oder durch kleine Polymerfäden auf der Oberfläche der Partikel, welche bei der Herstellung entstehen könnten, passieren.
\section{Fazit}
Alles in allen entsprechen die von uns gemessenen Werte in etwa den erwarteten. Aufgrund nicht ganz eindeutiger Verläufe, sind jedoch häufig die Unsicherheiten der Fits sehr groß, was in unserem Fall häufig einen großen Fehler nach sich zieht. Man sieht auch, dass die statische und dynamische Lichtstreuung wie erwartet ähnliche Ergebnisse liefern.
\newpage
\begin{thebibliography}{xxxxxx}
    \bibitem[Lit 1]{Lit1}"'Experimentelle Untersuchung von Phasenübergängen im
    kolloidalen Modellsystem harter Kugeln"',Markus Franke, Dissertation Mainz 2014
    \bibitem[Lit 2]{Lit2} "'Aufbau eines Laserlichtstreuexperimentes zur Bestimmung
    struktureller und dynamischer Eigenschaften von dispersen Systemen aus
    Nanopartikeln und Makromolekülen"', Jan Tischler, Bachelorarbeit , Universität Tübingen
    und Universität Stuttgart, 2014
 \end{thebibliography}
\end{document}