\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[german]{babel}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{float}
\usepackage{geometry}
\usepackage{calrsfs}
\geometry{
    a4paper,
    total={170mm,257mm},
    left=15mm,
    top=10mm,
    bottom = 15mm,
    right = 15mm
}
\hypersetup{
    colorlinks,
    citecolor=black,
    filecolor=black,
    linkcolor=blue,
    urlcolor=blue
}

\begin{document}

\begin{titlepage}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}
\center
\textsc{\LARGE Universität Tübingen}\\[1.5cm] 
\textsc{\Large F-Praktikum}\\[0.5cm] 
\textsc{\large SRS}\\[0.5cm] 
\HRule \\[0.4cm]
{\huge \bfseries Selektive Reflexionsspektroskopie und Faraday-Effekt in Gasen}\\[0.4cm] 
Version 2
\HRule \\[1.0cm]
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushleft} \large
        \emph{Von:}\\
        Gruppe 22\newline
        \underline{Simon Fischer}\newline
        Fabian Kraus
    \end{flushleft}
\end{minipage}
~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushright} \large
        \emph{Betreuer:}\\
        Max Eisele
    \end{flushright}
\end{minipage}\\[2cm]
{\large Durchgeführt: 21.05.2021}\\
{\large Version 1: 2. Juni 2021}\\
{\large Version 2: \today}\\
\end{titlepage}


\section{Einleitung}
In diesem Versuch wird die Verdrehung der Schwingungsebene von Licht durch ein Magnetfeld untersucht, genannt Faraday-Effekt. Dieser ist ein wichtiger, auf der Zeeman-Aufspaltung basierender Effekt, der zum Beispiel in optischen Dioden zum Einsatz kommt: Diese lassen kein Licht von außen in den Laser, das den Laser stören oder zerstören könnte.

Die selektive Reflexionsspektroskopie ist eine Technik, mit der optisch dichte Gase spektroskopiert werden können. Hierbei wird ausgenutzt, dass bei der Reflektion an einer Grenzschicht nur Atome innerhalb einer dünnen Grenzschicht beteiligt sind. Dies ist Teil Zwei des Versuchs.

\section{Theorie}
\subsection{Zeeman-Aufspaltung}
Legt man an ein Atom ein Magnetfeld $B$ an, dann wird die  $2l+1$-fache Entartung der Zustände zur Drehimpulsquantenzahl $l$ aufgehoben. Die Energieänderung beträgt dabei $\delta E\,=\,m_F g_F \mu_B B$, wobei $m_F$ die magnetische Quantenzahl des Zustands, $g_F$ der Landé-Faktor des Atoms und $\mu_B\,=\,\frac{e\hbar}{2m}$ das Bohr'sche Magneton sind. Aufgrund der Dipol-Auswahlregeln kann rechtszirkulares Licht nur sogenannte $\sigma^-$ Übergänge mit $\Delta m_F\,=\,-1$ und linkszirkulares Licht nur $\sigma^+$ ($\Delta m_F\,=\,+1$) anregen. Das bedeutet, dass sich die Resonanzfrequenzen für links- und rechtszirkulares Licht um $\delta_B\,=\,\frac{2g_F\mu_BB}{\hbar}$ unterscheiden. Für die im Versuch relevanten Rubidium-Übergänge ist $g_F\,=\,0.5$, also:
\begin{equation}
    \delta_B\,=\,\frac{\mu_BB}{\hbar}
    \label{srs:eq:deltaB}
\end{equation}

\subsection{Lorentz-Modell} \label{srs:ch_Lorentz_Modell}
Um die im Versuch relevanten Effekte zu erklären, benötigt man keine komplette quantenmechanische Beschreibung des Systems. Stattdessen betrachten wir das Lorentz-Modell, das die Elektronen im Atom als klassische harmonische Oszillatoren beschreibt. Diese Oszillatoren sind gedämpft mit $\gamma$ und angetrieben von einem oszillierenden, externen E-Feld $E(t)\,=\,E_0 e^{-i\omega t}$. Damit ergibt sich folgenden Bewegungsgleichung für die Position $x$ des Elektrons, wobei $\omega_0$ die Eigenfrequenz des Oszillators bezeichnet:
\begin{equation*}
    m\Ddot{x}\,+\,\gamma m \Dot{x}\,+\,m\omega_0^2 x\,=\,-eE_0 e^{-i\omega t}
\end{equation*}
Als Lösung bietet sich der Ansatz $x\,=\,x_0 e^{-i\omega t}$ an. Einsetzen von diesem führt auf $x_0$:
\begin{equation}
    x_0\,=\,\frac{eE_0}{m}\frac{1}{\omega^2\,-\,\omega_0^2\,+\,i\gamma\omega}
\end{equation}
Hat man nun sehr viele dieser Atome, also ein Medium, so definiert man dessen Polarisation $P$ als Dichte der Dipolmomente. Das Dipolmoment eines Atoms ist $-e \cdot x_0$, also ist mit der Dichte von Atomen $\rho$ die Polarisation $P\,=\,-\rho e \cdot x_0$. Andererseits hängt die Polarisation vom angelegten Feld ab, also $P\,=\,\epsilon_0\chi E_0$. Dabei bezeichnet $\chi$ die elektrische Suszeptibilität, sie ist abhängig vom Material und hängt über die Dielektrizitätskonstante $\epsilon\,=\,1\,+\,\chi$ mit dem Brechungsindex zusammen $n\,=\,\sqrt{\epsilon}\,=\,\sqrt{1\,+\,\chi}\,\approx\,1\,+\,\frac{1}{2}\chi$. Diese Ausdrücke kann man nun alle zusammenfügen zu einem komplexen Brechungsindex:
\begin{equation}
    n\,=\,1\,-\,\frac{1}{2}\frac{\rho e}{\epsilon_0 E_0}x_0\,=\,1\,-\,\frac{1}{2}\frac{\rho e^2}{\epsilon_0 m}\frac{1}{\omega^2\,-\,\omega_0^2\,+\,i\gamma\omega}
\end{equation}
Für eine leichtere Interpretation bietet es sich an, die Suszeptibilität in Real- und Imaginärteil aufzutrennen $\chi\,=\,\chi_r\,+\,i\chi_i$. Außerdem kann für Frequenzen $\omega$ nahe der Resonanzfrequenz $\omega_0$ die Differenz ihrer Quadrate näherungsweise über die Verstimmung $\delta\,\equiv\,\omega\,-\,\omega_0$ ausdrücken:
\begin{align*}
    \omega^2\,-\,\omega_0^2\,&=\,(\omega\,+\,\omega_0)(\omega\,-\,\omega_0)\,\approx\,2\omega_0 \delta \\
    \Rightarrow \frac{1}{\omega^2\,-\,\omega_0^2\,+\,i\gamma\omega}\,&\approx\,\frac{1}{2\omega_0\delta\,+\,i\gamma\omega_0}\,\\&=\,\frac{1}{2\omega_0}\frac{\delta\,-\,i\frac{\gamma}{2}}{\delta^2\,+\,\left(\frac{\gamma}{2}\right)^2}
\end{align*}
Damit lassen sich nun Real- und Imaginärteil von $\chi$ schreiben als:
\begin{equation}
   \begin{split}
       \chi_r\,&=\,-\chi_0\frac{\frac{2\delta}{\gamma}}{\left(\frac{2\delta}{\gamma}\right)^2\,+\,1} \\\
       \chi_i\,&=\,\,\,\chi_0\frac{1}{\left(\frac{2\delta}{\gamma}\right)^2\,+\,1} \\\
       \chi_0\,&\equiv\,\frac{\rho e^2}{\epsilon_0 m \omega_0 \gamma}
       \label{srs_chi_formula}
   \end{split}
\end{equation}
Der Realteil ist also eine dispersive Kurve in Abhängigkeit der Verstimmung und der Imaginärteil eine Lorentzkurve, siehe \autoref{srs:fig:chi}. Setzt man den komplexen Brechungsindex in eine ebene Welle ein, dann sieht man, dass der Realteil dem gewohnten Brechungsindex entspricht und der Imaginärteil sorgt für einen exponentiellen Zerfall der Amplitude aufgrund von Absorption.
\begin{figure}[ht]
   \centering
   \includegraphics[width=120mm]{04_SRS/suszeptibilitaet.png}
   \caption{Real- und Imaginärteils von $\chi$. Aus: Anleitung 'Faraday-Effekt und selektive Reflexionsspektroskopie in Gasen', Physikalisches Institut Universität Tübingen}
   \label{srs:fig:chi}
\end{figure}


\subsection{Faraday-Effekt}
Betrachten wir eine Welle linear polarisierten Lichts, das sich in $z$-Richtung durch ein Medium mit Brechungsindex $n$ ausbreitet. Diese Welle kann man zerlegen in eine Überlagerung von Rechts- und Links-Zirklular polarisiertem Licht:
\begin{equation*}
    \Vec{E}\,=\,\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\cos(\omega t\,-\,knz)\,=\,
    \frac{1}{2}
    \begin{pmatrix}
    \cos(\omega t\,-\,knz)\\
    \sin(\omega t\,-\,knz)
    \end{pmatrix}\,+\,
    \frac{1}{2}
    \begin{pmatrix}
    \cos(\omega t\,-\,knz)\\
    -\sin(\omega t\,-\,knz)
    \end{pmatrix}
\end{equation*}
Bewegt sich diese nun durch ein Medium, das aus Atomen im B-Feld besteht, so beobachtet man den am Anfang beschriebenen Zeeman-Effekt. Die zwei Komponenten des Feldes koppeln nun an Übergänge mit unterschiedlicher Energie, was zwei verschiedenen Brechungsindices entspricht: 
\begin{align*}
    \Vec{E}\,&=\,
    \frac{1}{2}
    \begin{pmatrix}
    \cos(\omega t\,-\,kn_1z)\\
    \sin(\omega t\,-\,kn_1z)
    \end{pmatrix}\,+\,
    \frac{1}{2}
    \begin{pmatrix}
    \cos(\omega t\,-\,kn_2z)\\
    -\sin(\omega t\,-\,kn_2z)
    \end{pmatrix}\\
    &=\,\cos\left(\omega t\,-\,k\frac{n_1+n_2}{2}z\right)
    \begin{pmatrix}
    \cos\left(k\frac{\Delta n}{2}z\right)\\
    \sin\left(k\frac{\Delta n}{2}z\right)
    \end{pmatrix}
\end{align*}
wobei $\Delta n\,\equiv\,n_2\,-\,n_1$. Die linear polarisierte Welle wird also um einen Winkel $\beta\,=\,k\frac{\Delta n}{2}z$ gedreht. Dabei kann man $\Delta n$ noch durch Taylorentwicklung nähern:
\begin{align*}
    \Delta n\,&=\,
    n_2\,-\,n_1\,=\,
    n\left(\delta\,+\,\frac{\delta_B}{2}\right)\,-\,n\left(\delta\,-\,\frac{\delta_B}{2}\right)\,\\
    &\approx\,    \left(n(\delta)\,+\,\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\delta}\Big \vert_{\delta}\cdot\frac{\delta_B}{2}\right)\,-\,
    \left(n(\delta)\,-\,\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\delta}\Big \vert_{\delta}\cdot\frac{\delta_B}{2}\right)\,\\
    &=\,\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\delta}\Big \vert_{\delta}\cdot\delta_B
\end{align*}
Für eine Länge $z\,=\,d$ ergibt sich in dieser Näherung:
\begin{equation}
    \beta\,=\,\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\delta}\Big \vert_{\delta}\frac{\mu_B}{\hbar}k\cdot B\cdot d\,\equiv\,V\cdot B\cdot d
\end{equation}
Wobei im letzten Schritt die sogenannte Verdet-Konstante $V$ definiert wurde. 

Mit unseren vorherigen Ergebnissen aus dem Lorentzmodell lässt sich die Ableitung des Realteils von $n$ berechnen als:
\begin{equation}
    \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\delta}\,=\,
    \frac{1}{2}\chi_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\delta}\left(\frac{\frac{2\delta}{\gamma}}{1\,+\,\left(\frac{2\delta}{\gamma}\right)^2}\right)\,=\,
    \frac{\chi_0}{\gamma}\frac{1\,-\,\left(\frac{2\delta}{\gamma}\right)^2}{\left(1\,+\,\left(\frac{2\delta}{\gamma}\right)^2\right)^2}
\end{equation}
Damit hängt die Verdet-Konstante also auch mit der Verstimmung zusammen, d.h. je nach Laserfrequenz ist der Faraday-Effekt unterschiedlich stark und die Verdet-Konstante ist gar keine Konstante. Sie lässt sich damit schreiben als:
\begin{align}
    V= \frac{1}{2} \left[ \frac{dn}{d\delta} \right] \frac{\mu_B}{\hbar}k,
\end{align}
wobei wir nun unter Verwendung des Realteils $n_r$ des Brechungsindexes (vgl Abschnitt \ref{srs:ch_Lorentz_Modell}) die Verdetkonstante schreiben können als
\begin{align}
    V=& \frac{1}{4}\frac{e \omega}{mc} \frac{d n_r}{d \delta}\\
    =& \chi_0 \frac{1}{4}\frac{e}{m}\frac{k}{\gamma} \frac{\left( \frac{2 \delta}{\gamma} \right)^2 - 1}{\left( 1+ \left( \frac{2 \delta}{\gamma} \right)^2 \right)^2}.
    \label{srs:eq_Verdet_2}
\end{align}

\subsubsection{Mit inhomogenem Magnetfeld}
Im vorherigen Abschnitt haben wir uns den Faraday-Drehwinkel $\beta$ für ein homogenes Magnetfeld angeschaut. Das Magnetfeld der Spule im Experiment ist jedoch inhomogen und unser Ausdruck muss entsprechend angepasst werden zu:
\begin{equation*}
    \beta\,=\,V\cdot\int_0^d\mathrm{d}z B(z)
\end{equation*}
Das Magnetfeld entlang der Symmetrieachse der Spule, also dort wo sich der Strahl befindet, ist bekannt:
\begin{equation*}
    B(z)\,=\,\mu_0 I\frac{N}{2l}\left(\frac{l/2\,-\,z}{\sqrt{(l/2\,-\,z)^2\,+\,r^2}}\,+\,\frac{l/2\,+\,z}{\sqrt{(l/2\,+\,z)^2\,+\,r^2}}\right)
\end{equation*}
Es gilt also, folgendes Integral zu berechnen:
\begin{equation*}
    \int_0^d\mathrm{d}z\frac{l/2\,\pm\,z}{\sqrt{(l/2\,\pm\,z)^2\,+\,r^2}}\,=\,
    \pm\left[\sqrt{(l/2\pm z)^2\,+\,r^2}\right]_0^d
\end{equation*}
Damit ergibt sich
\begin{equation}
    \beta\,=\,V\cdot K\cdot I
    \label{srs_eq_beta}
\end{equation}
Mit 
\begin{align}
    K\,&=\,\mu_0\frac{N}{2l}\left(
    \sqrt{(l/2\,+\,d)^2\,+\,r^2}\,-\,
    \sqrt{(l/2\,-\,d)^2\,+\,r^2}\right)\notag\\
    &\approx\,87.95\cdot\mu_0 \approx 1.10524312 \cdot 10^{-4}\,\SI{}{\frac{N}{A^2}}
    \label{srs_eq_k}
\end{align}
mit den Parametern $N\,=\,178$, $l\,=\,\SI{50}{mm}$, $r\,=\,\SI{15}{mm}$ und $d\,=\,\SI{100}{mm}$.

\subsection{Selektive Reflexionsspektroskopie (SRS)}
Wir betrachten nun eine Rubidiumzelle, in die an einem Ende ein Laser gestrahlt wird. Uns interessiert hierbei nur der reflektierte Strahl, dessen Intensität mit einer Photodiode gemessen wird.
Für die Reflexion am Übergang Glas ($n_d$) zu Rubidiumgas ($n_g(\delta)$) folgt aus den Fresnell-Gleichungen für senkrechten Einfall eine \textcolor{red}{Reflektivität} $R$ von:
\begin{equation}
    R\,=\,\left\vert\frac{n_d\,-\,n_g(\delta)}{n_d\,+\,n_g(\delta)}\right\vert^2
\end{equation}
Um den Effekt des Gases zu untersuchen, betrachtet man die Differenz zum Fall ohne Gas, also
\begin{equation}
    \Delta R\,=\,\left\vert\frac{n_d\,-\,n_g(\delta)}{n_d\,+\,n_g(\delta)}\right\vert^2\,-\,\left\vert\frac{n_d\,-\,1}{n_d\,+\,1}\right\vert^2
\end{equation}
Mit unseren Ergebnissen aus dem Lorentzmodell und einer Taylorentwicklung von $\chi_r$ bis zur ersten Ordnung lässt sich dieser Ausdruck nähern als
\begin{equation}
    \Delta R\,\approx\,-\frac{2n_d(n_d\,-\,1)}{(n_d\,+\,1)^3}\cdot\chi_r
    \label{srs:eq_Delta_R}
\end{equation}
Man erkennt hier den zentralen Unterschied zwischen Reflexions- und Transmissionsspektroskopie: Nicht die erhöhte Absorption (entspricht dem Imaginärteil des Brechungsindex) sondern die Phasenverschiebung (entspricht dem Realteil des Brechungsindex) ist entscheidend für das Zustandekommen des Spektrums, in erster Ordnung fällt der Imaginärteil von $\chi$ bei der SRS sogar komplett heraus.

\subsubsection{Wieviele Atome tragen zur Reflexion bei?}
Um zu verstehen, wie viele Rb-Atome an der Grenzschicht überhaupt zum Effekt beitragen, betrachten wir zunächst ein einzelnes Atom: 

Licht propagiere von der Grenzschicht eine Distanz $z$ zum Atom, rege dieses zu einer Dipolschwingung an mit der aus dem Lorentzmodell bekannten komplexen Schwingungsamplitude $x_0(\delta)$ und laufe dieselbe Distanz $z$ wieder zurück. Für das reflektierte Feld an der Grenzfläche gilt dann:
\begin{equation*}
    E\,\propto\,e^{ikz}x_0(\delta)e^{ikz}
\end{equation*}
Hat man nun entlang der optischen Achse ganz viele Atome in verschiedenen Abständen $z$, so wird dasgesamte Feld proportional zur Überlagerung aller einzelnen Felder sein:
\begin{align*}
    E_{tot}\,&\propto\,\int_0^{\infty}x_0(\delta)e^{2ikz}\mathrm{d}z\,\\
    &=\,x_0\lim_{\epsilon \to 0}\int_0^{\infty}e^{(2ik\,-\,\epsilon)z}\mathrm{d}z\,\\
    &=\,x_0\lim_{\epsilon \to 0}-\frac{1}{2ik\,-\,\epsilon}\,\\
    &=\,-\frac{x_0}{2ik}
\end{align*}
Der Trick zur Lösung dieses Integrals lässt sich folgendermaßen plausibel machen: Atome mit großen Abständen zur Grenzschicht $z\,>\,\frac{1}{\epsilon}$ tragen schwächer zu $E_{tot}$ bei als Atome in der Nähe der Grenzschicht. Der auftretende Nenner bleibt immer dann unverändert, wenn $2k\,\gg\,\epsilon$. Das ist aber nur der Fall für Atome in einer dünnen Grenzschicht mit
\begin{equation}
    z\,<\,\frac{1}{2k}\,=\,\frac{\lambda}{4\pi}\,\approx\,\SI{60}{nm}
\end{equation}

\subsubsection{Dopplereffekt}
Bis hier hin haben wir die thermische Bewegung der Atome vernachlässigt. Allerdings hat die statistische Geschwindigkeitsverteilung einen erheblichen Einfluss auf die SRS, da aufgrund des Dopplereffekts sich die Verstimmung im bewegten Koordinatensystem des Atoms ändert. Dabei gilt:
\begin{equation*}
    \delta\,\rightarrow\,\delta\,-\,\Vec{k}\cdot\Vec{v}
\end{equation*}
Aufgrund der veränderten Verstimmung ändert sich entsprechend auch die Suszeptibilität:
\begin{equation}
    \chi_r(\delta)\,\rightarrow\,\chi_r(\delta, \Vec{v})\,=\,\chi_r(\delta\,-\,\Vec{k}\cdot\Vec{v})
\end{equation}
Mithilfe der Maxwell-Boltzmann Verteilung $n(v)$ lässt sich der Mittelwert der Suszeptibilität berechnen. Eine Feinheit, die dabei zu beachten ist, ist dass nur Atome, die sich auf die Grenzfläche zu bewegen, berücksichtigt werden dürfen. Der Grund dafür ist, dass nur die Atome aus der im vorigen Abschnitt beschriebenen dünnen Schicht zum Effekt beitragen. D.h. Atome, die sich von der Grenzschicht wegbewegen, sind zu schnell aus dieser dünnen Schicht verschwunden, als dass sie in dieser Zeit ein Dipolmoment aufbauen und Licht emittieren könnten. Die Integration mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung läuft also nur über negative Geschwindigkeiten. Die gemittelte Suszeptibilität ist also
\begin{equation}
    \overline{\chi}(\delta)\,=\,\int_{-\infty}^0 \chi_r(\delta ,v)n(v)\mathrm{d}v
\end{equation}
Eine numerische Lösung dieses Integrals ist dargestellt in \autoref{srs:fig:doppler}. 
\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[width=120mm]{04_SRS/SRS_Spektrum.png}
    \caption{Ergebnis für die gemittelte Suszeptibilität (rot), Suszepitibilät ohne Dopplereffekt (schwarz) und einseitige Maxwell-Boltzmann Verteilung (blau). Aus: Anleitung 'Faraday-Effekt und selektive Reflexionsspektroskopie in Gasen', Physikalisches Institut Universität Tübingen}
    \label{srs:fig:doppler}
\end{figure}


\newpage
\section{Versuchsdurchführung}
Im ersten Teil des Versuchs (\autoref{srs:fig:aufbau1}) wird die Abhängigkeit des Faraday-Drehwinkels $\beta = \beta(B)$ vom Magnetfeld untersucht. Dazu haben wir die Gaszelle auf ca. Mittel $150$°C geheizt, damit sich genügend Atome in Gasphase befinden. Für die Messung des Drehwinkels wird mit einer Photodiode die Intensität, die durch einen Polarisator hinter der Zelle hindurchkommt, am Oszilloskop aufgezeichnet. Man variiert die Stromstärke der Magnetspule in angemessenen Schritten, um den Verlauf von $\beta(I)$ gut darstellen zu können. Nach Mallus erwartet man eine Abhängigkeit $\propto \sin^2(\beta)$ der Leistung, man nimmt etwas mehr als eine volle Periode dieser Schwingung auf. Dieser Messvorgang wird bei fünf verschiedenen rotverstimmten Frequenzen durchgeführt. Zusätzlich ist noch eine Sättigungsspektroskopie aufgebaut, zur Referenz für die Resonanzfrequenz.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{04_SRS/Aufbau_neu.png}
    \caption{Aufbau für den Faraday-Effekt \textcolor{red}{Schaubild geändert}}
    \label{srs:fig:aufbau1}
\end{figure}
Für den zweiten Teil (\autoref{srs:fig:aufbau2}) wird versucht, den Laser in einem möglichst kleinen Winkel vom Fenster der Gaszelle zu reflektieren. Die Intensität des reflektierten Strahls wird wiederum mittels einer Photodiode gemessen. Auch hier wird das aufgenommene Spektrum mit dem aus der nebenher laufenden Sättigungsspektroskopie verglichen.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{04_SRS/Aufbau2.png}
    \caption{Aufbau für die Reflexionsspektroskopie \textcolor{red}{Schaubild geändert}}
    \label{srs:fig:aufbau2}
\end{figure}
\newpage



\section{Auswertung}

\subsection{Faraday-Effekt}
Um einen Wert für \textcolor{red}{$\chi_0$} zu erhalten, benötigen wir nach \eqref{srs_chi_formula} die Dichte $\rho$. Um diese zu bestimmen, beginnen wir damit, die Lichtleistung $P$ hinter der geheizten Zelle als Funktion des Stroms durch die Magnetspule aufzutragen. Dies ist im Folgenden für verschiedene Verstimmungen zu sehen. Da wir immer mit Verstimmungen größer $500\, \SI{}{MHz}$ arbeiten, kann die Doppler-Verbreiterung für die folgenden Rechnungen vernachlässigt werden.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{04_SRS/SRS1_4.png}
    \caption{Fit für den Verlauf der Lichtleistung bei Verstimmung $\delta = 4\cdot 267\, \SI{}{MHz}$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{04_SRS/SRS1_5.png}
    \caption{Fit für den Verlauf der Lichtleistung bei Verstimmung $\delta = 5\cdot 267\, \SI{}{MHz}$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{04_SRS/SRS1_6.png}
    \caption{Fit für den Verlauf der Lichtleistung bei Verstimmung $\delta = 6\cdot 267\, \SI{}{MHz}$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{04_SRS/SRS1_7.png}
    \caption{Fit für den Verlauf der Lichtleistung bei Verstimmung $\delta = 7\cdot 267\, \SI{}{MHz}$}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{04_SRS/SRS1_8.png}
    \caption{Fit für den Verlauf der Lichtleistung bei Verstimmung $\delta = 8\cdot 267\, \SI{}{MHz}$}
\end{figure}

Für den fit wurde eine Funktion der Form $A\cdot \sin^2(B\cdot x + C) + D$ genutzt. Hierbei lässt sich nach Mallus identifizieren: $B\cdot x + C=:sI+\beta_0$, wobei $\beta$ den Drehwinkel und $I$ den Strom bezeichnet. Der Winkel $\beta_0$ berücksichtigt die mögliche Verkippung des Polarisators relativ zur Polarisation des Lichtfelds \textit{ohne} den Faraday-Effekt ($I=0$). Die Resultate sind in den nachfolgenden zwei Tabellen aufgelistet. Zusätzlich ist noch die Temperatur bei der jeweiligen Messung vermerkt.

\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c}
        $\delta$ $[2\pi \,MHz]$ & Temperatur [°C] & Parameter $s$\\ \hline
        $4\cdot 267$ & 143 & $1.15157\pm 0.0125785$\\
        \hline
        $5\cdot 267$ & 144 & $0.832506\pm 0.0235427$\\
        \hline
        $6\cdot 267$ & 147 & $0.720716\pm 0.018057$\\
        \hline
        $7\cdot 267$ & 150 & $0.705296\pm 0.0193439$\\
        \hline
        $8\cdot 267$ & 154 & $0.848701\pm 0.0139461$\\
    \end{tabular}
    \label{srs:tab:s_Werte}
    \caption{Ergebnisse aus den Fits für den Parameter $s$.}
\end{table}
\noindent Und für den Parameter $\beta_0$:
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c}
        $\delta$ $[2\pi \,MHz]$& Parameter $\beta_0$\\ \hline
        $4\cdot 267$ & $1.53886\pm 0.029379$\\
        \hline
        $5\cdot 267$ & $1.44665\pm 0.0493349$\\
        \hline
        $6\cdot 267$ & $1.47855\pm 0.04099$\\
        \hline
        $7\cdot 267$ & $1.47472\pm 0.0456691$\\
        \hline
        $8\cdot 267$ & $\textcolor{red}{1.2975}\pm 0.0390814$\\
    \end{tabular}
    \label{srs:tab:beta_0}
    \caption{Ergebnisse aus den Fits für den Parameter $\beta_0$.}
\end{table}
\textcolor{red}{Fehlerdiskussion für $\deta = 8 \cdot 267 \,\SI{}{MHz}$ entfernt, da kein Fehler vorhanden war.}
\noindent Da der Parameter $\beta_0$ unabhängig von der Verstimmung $\delta$ sein sollte, lässt sich der Mittelwert
\begin{equation}
    \beta_0 = \textcolor{red}{1.47} \pm 0.05 \, \SI{}{rad}
    \label{srs:beta_main}
\end{equation}
berechnen, wobei konservativ der größte Fehler aus \autoref{srs:tab:beta_0} genutzt wurde.\\
Durch Vergleich mit \eqref{srs_eq_beta} zeigt
\begin{align}
    s=& \,V\cdot K\\
    \leftrightarrow V =& \,\frac{s}{K},
\end{align}
wobei $K$ aus \eqref{srs_eq_k} herangezogen wird. Damit kann man die Verdetkonstante für alle Verstimmungen $\delta$ berechnen:

\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c}
        $\delta$ $[2\pi \,MHz]$& $V[\,\SI{}{\frac{rad}{Tm}}]$\\ \hline
        $4\cdot 267$ & $1.04 \cdot 10^{4} \pm 1.13 \cdot 10^2$\\
        \hline
        $5\cdot 267$ & $7.53 \cdot 10^{3} \pm 2.13 \cdot 10^2$\\
        \hline
        $6\cdot 267$ & $6.52 \cdot 10^{3} \pm 1.63 \cdot 10^2$\\
        \hline
        $7\cdot 267$ & $6.38 \cdot 10^{3} \pm 1.75 \cdot 10^2$\\
        \hline
        $8\cdot 267$ & $7.68 \cdot 10^{3} \pm 1.26 \cdot 10^2$\\
    \end{tabular}
    \caption{Ergebnisse für die Verdetkonstante $V$ aus den oben berechneten Verstimmungen in $[\SI{}{\frac{rad}{Tm}}]$.}
\end{table}
Und in Einheiten von $[\SI{}{\frac{rad}{G cm}}]$ erhalten wir:

\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c}
        $\delta$ $[2\pi \,MHz]$& $V[\,\SI{}{\frac{rad}{G cm}}]$\\ \hline
        $4\cdot 267$ & $1.04 \cdot 10^{-2} \pm 1.13 \cdot 10^{-5}$\\
        \hline
        $5\cdot 267$ & $7.53 \cdot 10^{-3} \pm 2.13 \cdot 10^{-5}$\\
        \hline
        $6\cdot 267$ & $6.52 \cdot 10^{-3} \pm 1.63 \cdot 10^{-5}$\\
        \hline
        $7\cdot 267$ & $6.38 \cdot 10^{-3} \pm 1.75 \cdot 10^{-5}$\\
        \hline
        $8\cdot 267$ & $7.68 \cdot 10^{-3} \pm 1.26 \cdot 10^{-5}$\\
    \end{tabular}
    \caption{Ergebnisse für die Verdetkonstante $V$ aus den oben berechneten Verstimmungen in $[\SI{}{\frac{rad}{G cm}}]$.}
\end{table}
\noindent Man kann nun Gleichung \eqref{srs:eq_Verdet_2} für die Verdetkonstante nähern für große Verstimmungen, d.h.
\begin{equation}
    \left(\frac{2\delta}{\gamma}\right)^2 >> 1,
\end{equation}
und man erhält damit für $V$ folgenden Ausdruck:
\begin{equation}
    V(\delta)\approx\frac{1}{4} \frac{e}{m}\frac{k}{\gamma} \chi_0 \frac{1}{(2\delta)^2}.
    \label{srs_eq_v_naeherung}
\end{equation}
Aus obigen Tabellen lässt sich nun leicht das Produkt $V(\delta)\cdot \delta^2$ bestimmen:

\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c}
        $\delta$ $[2\pi \,MHz]$& $V\cdot \delta^2 [\,\SI{}{\frac{rad}{Tms^2}}]$\\ \hline
        $4\cdot 267$ & $4.69 \cdot 10^{23} \pm 8.15 \cdot 10^{20}$\\
        \hline
        $5\cdot 267$ & $5.30 \cdot 10^{23} \pm 2.39 \cdot 10^{21}$\\
        \hline
        $6\cdot 267$ & $6.60 \cdot 10^{23} \pm 2.63 \cdot 10^{21}$\\
        \hline
        $7\cdot 267$ & $8.80 \cdot 10^{23} \pm 3.84 \cdot 10^{21}$\\
        \hline
        $8\cdot 267$ & $1.38 \cdot 10^{24} \pm 3.62 \cdot 10^{21}$\\
    \end{tabular}
    \caption{Ergebnisse $V(\delta)\cdot \delta^2$ aus den oben berechneten Verstimmungen und Werten für die Verdetkonstante.}
\end{table}
\textcolor{red}{Wir bilden nun den Mittelwert der oben erhaltenen Werte für $V \delta^2$. Es ist ein klarer Trend zu erkennen, dass für steigendes $\delta$ auch $V \delta^2$ höhere Werte annimt, was zu erwarten ist, da $V \delta^2 \propto \delta^2$. Wir erhalten}
\begin{equation}
    \left< V \delta^2 \right> = \textcolor{red}{5.59} \cdot 10^{23} \,\SI{}{\frac{rad}{Tms^2}},
\end{equation}
mit der Standardabweichung
\begin{equation}
    \Delta_{STABW} \left(V \delta ^2\right) = \textcolor{red}{3.076} \cdot 10^{23}\, \SI{}{\frac{rad}{Tms^2}}.
\end{equation}
Die experimentell ermittelten Werte streuen damit um den Mittelwert mit obiger Standardabweichung. Ein Trend ist zu erkennen, dass sich $V\cdot \delta^2$ mit steigendem $\delta$ erhöht. \textcolor{red}{Dies könnte an Temperaturabweichungen von über 10°C während der Messung} liegen, die für größere $\delta$ deutlicher auftreten.\\
Mit Beziehung \eqref{srs_eq_v_naeherung} lässt sich nun $\chi_0$ bestimmen:
\begin{align}
    \chi_0\approx V\delta^2 \frac{16 m}{ek\gamma},
\end{align}
wobei alle Größen wie folgt gegeben sind:
\begin{itemize}
 \item $V \delta^2$ aus obigem Mittelwert
 \item $\gamma = 2 \pi \cdot 6 \cdot 10^{6} \, \SI{}{Hz}$
 \item $m$ und $e$ sind Naturkonstanten
 \item $k$ erhalten wir aus:
 \begin{equation}
     k=\frac{\omega}{c} \approx \frac{2 \pi \cdot 384.228 \cdot 10^{12} \, \SI{}{Hz}}{c},
 \end{equation}
 was sich aus dem Termschema ablesen lässt.
\end{itemize}
Also erhalten wir für $\chi_0$ den Wert
\begin{equation}
    \chi_0 \approx \textcolor{red}{0.197 \pm 0.099},
\end{equation}
wobei für die Fehlerfortpflanzung die zuvor ermittelte Standardabweichung herangezogen wurde.\\
Mittels Gleichung
\begin{align}
    \chi_0 =& \frac{\rho e^2}{\epsilon_0 m \omega_0 \gamma}\\
    \leftrightarrow \rho =& \frac{\chi_0 \epsilon_0 m \omega_0 \gamma}{e^2}
\end{align}
lässt sich nun auch die Dichte $\rho$ bestimmen zu
\begin{equation}
    \rho _{exp}\approx \textcolor{red}{\left(5.66 \pm2.83 \right) \cdot 10^{18} \,\SI{}{\frac{1}{m^3}}},
\end{equation}
wobei $\omega_0 \approx 2 \pi \cdot 384\cdot10^{12}\, \SI{}{Hz}$ aus dem Termschema für Rubidium 87 abzulesen ist und $\gamma = 2 \pi \cdot 6 \cdot 10^{6} \, \SI{}{Hz}$. Den theoretischen Wert der Gasdichte erhält man aus der Dampfdruckkurve für Rubidium, wobei man abliest $p(T=154 \,\SI{}{°C})\approx 0.6 \,\SI{}{Pa}$. Mit dem Isotopenverhätnis von 87-Rubidium von $W_{87}=0.2783$ ergibt sich schließlich für die erwartete Teilchendichte von 87-Rubidium zu
\begin{equation}
    \rho_{theo}=\frac{p}{k_B T}\cdotW_{87}\approx 2.83 \cdot 10^{19} \, \SI{}{\frac{1}{m^3}},
\end{equation}
was etwa um ein Faktor fünf vom experimentell gefundenen Wert abweicht.\\
[0.5pt]\\
Letztendlich ist es noch interessant, den Einfluss des Fensterglases auf die Polarisationsdrehung zu ermitteln und anschließend zu überprüfen, ob diese vernachlässigt werden kann. Das Fenster ist $1.1 \, \SI{}{mm}$ dick und besteht aus BK7-Glas. Die sog. Sellmeier-Gleichung
\begin{equation}
    n^2(\lambda) = 1+\frac{B_1 \lambda^2}{\lambda^2 - C_1}+ \frac{B_2 \lambda^2}{\lambda^2 - C2} + \frac{B_3 \lambda^2}{\lambda^2 - C3}
\end{equation}
gibt den Brechungsindex $n$ als Funktion der Wellenlänge $\lambda$ an. Die Koeffizienten sind gegeben durch
\begin{itemize}
    \item $B_1 = 1.0396121$
    \item $B_2 = 0.231792344$
    \item $B_3 = 1.01046945$
    \item $C_1 = 6.00069867 \cdot 10^{-15} \, \SI{}{m}$
    \item $C_2 = 2.00179144 \cdot 10^{-14} \, \SI{}{m}$
    \item $C_3 = 1.03560653 \cdot 10^{-10} \, \SI{}{m}$.
\end{itemize}
Folgende Abbildung zeigt den Brechungsindex im relevanten Wellenlängenbereich.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\textwidth]{04_SRS/n_Tangente.png}
    \caption{Tangente bei $\lambda = 780.246 \, \SI{}{nm}$.}
\end{figure}
Die Steigung der Tangente beträgt $\frac{dn}{d\lambda}=-20873.5 \, \SI{}{\frac{1}{m}}$ bei $\lambda = 780.246 \, \SI{}{nm}$.\\
Damit erhalten wir für die Verdetkonstante
\begin{equation}
    V\stackrel{\eqref{srs:eq_Verdet_2}}{=}-\frac{e\omega}{4 m_e c} \frac{dn}{d\lambda} \frac{2 \pi c}{\omega^2}\approx 15.0\, \SI{}{\frac{rad}{Tm}},
\end{equation}
was viel kleiner als die Verdetkonstanten vorher ist. Man erhält einen Drehwinkel von
\begin{equation}
    \beta_{Glas}=V\cdot d \cdot B \approx 1.65\cdot 10^{-5}\,\SI{}{rad},
\end{equation}
wobei $d=1.1\,\SI{}{mm}$ und $B=0.001\,\SI{}{T}$. Verglichen mit dem Drehwinkel vom Anfang des Kapitels \eqref{srs:beta_main} lässt sich der Beitrag des Fensterglases eindeutig vernachlässigen, da das gefundene $\beta_{Glas}$ um etwa fünf Größenordnungen kleiner ist.

\newpage

\subsection{Selektive Reflexion}
Die Zelle wurde nun auf etwa $T\approx 250\,$°$\SI{}{°C}$ geheizt. Wie schon beim Farraday-Effekt lässt sich an der Dampfdruckkurve die Dichte ablesen zu
\begin{equation}
    \rho=\frac{P}{k_B T}=7.62 \cdot 10^{21}\, \SI{}{\frac{1}{m^3}}.
\end{equation}
Da nur 87-Rubidium betrachtet wird, ist dieser Wert erneut mit dem Anteil natürlich vorkommender Rubidiumisotope von $0.278$ zu multiplizieren und wir erhalten
\begin{equation}
    \rho=2.12\cdot 10^{21}\, \SI{}{\frac{1}{m^3}}.
\end{equation}
Thermische Geschwindigkeiten sind hinreichend groß, um nur Atome, die sich auf die Grenzschicht zubewegen zu berücksichtigen. Jene, die sich wegbewegen, verlassen die relevante Schicktdiche, bevor diese überhaupt einen Einfluss auf das reflektierte Licht nehmen können. \textcolor{red}{Dies wurde bereits in der Geschwindigkeitsverteilung berücksichtigt, weshalb wir für die Dichte unverändert $\rho = 2.12 \cdot 10^{21}\, \SI{}{\frac{1}{m^3}}$ erhalten.}
Unter Verwendung der Gleichung \eqref{srs_chi_formula} für $\chi_0$ erhalten wir also
\begin{equation}
    \chi_0 = \frac{\rho e^2}{\epsilon_0 m \omega_0 \gamma} \approx \textcolor{red}{74.12}
\end{equation}
Schließlich erhält man unter Ausnutzung der Relation \eqref{srs:eq_Delta_R} für $\Delta R$ die Reflektivität
\begin{equation}
    \Delta R(\delta) \approx \textcolor{red}{0.1446},
    \label{srs:eq_delta_r_theo_ergebnis}
\end{equation}
wobei $\chi_r=-0.02 \chi_0$ genutzt wurde. Dieser Wert für die Reflektivität kann mit dem experimentell bestimmten verglichen werden.
Durch die angepasste Gerade, welche in \textcolor{red}{untenstehendem} Schaubild zu erkennen ist, kann man also ein Vergleichsniveau für die Intensität jenseits der Resonanz erhalten. Dadurch fällt der Effekt der Rb-Atome weg. Die Differenz des linearen Fits am Ort des Maximums der Messdaten zum Maximum selbst, welches den Übergang $F=2\rightarrow F'=3$ darstellt, lässt sich durch Ablesen bestimmen. 
Dafür wird das aufgezeichnete Spektrum noch mit dem zu erwartenden Sättigungsspektrum verglichen.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{04_SRS/srs3.png}
    \caption{Reflexions- und Sättigungsspektrum. Es ist gut zu erkennen, dass Peaks an derselben Stelle auftreten, wenn auch nur schwach. \textcolor{red}{Beide Plots in dieselbe Abbildung}}
\end{figure}
Wir lesen im Bild die Werte auf der $y$-Achse ab, was zu einer Reflektivität von
\begin{equation}
    \Delta R(\delta)_{exp} = \textcolor{red}{\frac{0.0517-0.04931}{0.04931}\approx0.05}
\end{equation}
führt. Diese ist \textcolor{red}{etwa} um einen Faktor \textcolor{red}{drei größer} als die theoretisch bestimme Reflektivität aus \eqref{srs:eq_delta_r_theo_ergebnis}. Zur Fehlerdiskussion, siehe \autoref{srs:ch_fazit}.\\
Man kann schlussendlich noch die Breite der Peaks mithilfe des Frequenzabstands von $F=2$ zu $F'=3$ bestimmen.
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c}
        Übergang & Breite in $\SI{}{MHz}$\\ \hline
        $F=2 \, \rightarrow \, F'=1$ & $\approx 50$\\
        \hline
        $F=2 \, \rightarrow \, F'=2$ & $\approx 100$\\
        \hline
        $F=2 \, \rightarrow \, F'=3$ & $\approx 200$\\
    \end{tabular}
    \caption{Abgeschätzte Peakbreiten im Sättigungsspektrum. Alle Übergänge sind zu lesen als $5S_{\frac{1}{2}} F \, \rightarrow\, 5P_{\frac{3}{2}} F'$.}
\end{table}
\textcolor{red}{Im Gegensatz zur Sättigungsspektroskopie sind keine Corssover-Resonanzen zu erkennen. Man erhält also mit der SRS Linienbreiten, die \textit{unterhalb} der Dopplerbreite liegen, wohingegen jedoch die Peaks im Allgemeinen breiter sind als die der Sättigungsspektroskopie, was an den höheren Temperaturen der Zelle (~$250\,$°$\SI{}{C}$) liegt.}

\subsection{Fazit und Fehlerdiskussion} \label{srs:ch_fazit}
Alles in allem liegen einige der experimentell bestimmten Werte in derselben Größenordnung wie die theoretisch vorhergesagten. Die bestimmte Teilchendichte liegt mit einem Faktor fünf neben der theoretisch errechneten, die Reflektivität unterscheidet sich von der Theorie um einen Faktor vier. Trotzdem sind in diesem Versuchsteil die Reflexions- und Sättigungspeaks deutlich zu erkennen. Ungenauigkeiten sind auf zweierlei Gründe zurückzuführen: Für jene betreffend der Teilchendichte vermuten wir die Fehlerquelle in der Ungenauigkeit beim Ablesen von der Dampdruckkurve, bei der Annahme eines idealen Gases, sowie bei fehlerhaftem Ablesen der Temperatur wärhend des Messprozesses. Betreffend der Reflexionsspektroskopie liegt ein möglicher Fehler in gestreutem Umgebungslicht. Das Ergebnis des Parameters $\beta$ kann als sehr gut bezeichnet werden, da dieses die Legitimität der Vernachlässigung des Drehwinkels der durch das Fensterglas hervorgerufen wird korrekt wiedergibt.\\
Die experimentell bestimmten Werte liegen damit innerhalb der erwarteten Größenordnungen, wobei einige nahe an den erwarteten Ergebnissen liegen, andere hingegen nicht, was sich auf Messfehler und Ungenauigkeiten bei der Durchführung zurückführen lässt.



\end{document}