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\begin{document}

\begin{titlepage}
\newcommand{\HRule}{\rule{\linewidth}{0.5mm}}
\center
\textsc{\LARGE Universität Tübingen}\\[1.5cm] 
\textsc{\Large F-Praktikum}\\[0.5cm] 
\textsc{\large DSLS}\\[0.5cm] 
\HRule \\[0.4cm]
{\huge \bfseries Statische und dynamische Lichtstreuung}\\[0.4cm] 
Version 2
\HRule \\[1.0cm]
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushleft} \large
        \emph{Von:}\\
        Gruppe 22\newline
        \underline{Fabian Kraus}\newline
        Simon Fischer
    \end{flushleft}
\end{minipage}
~
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{flushright} \large
        \emph{Betreuer:}\\
        Hans Joachim Schöpe
    \end{flushright}
\end{minipage}\\[2cm]
{\large Durchgeführt: 02.07.2021}\\
{\large Version 1: \today}\\
{\large Version 2: 8. Juli 2021}\\
\tableofcontents
\end{titlepage}


\section{Einleitung}
Bei diesem Versuch haben wir die Größe und räumliche Anordnung der Partikel in kolloidalen Dispersionen bestimmt. 

\section{Theoretischer Hintergrund}

\subsection{Kolloidale Dispersion}
Eine kolloidale Dispersion ist eine heterogene Mischung von Partikel mesoskopischer Größenordnung (wenige \(\unit{nm}\) bis $\unit{\mu m}$) in einem Fluid, dessen Moleküle/Atome also wesentlich kleiner sind. Die Partikel sollen aber noch klein genug sein, um Brown'sche Bewegung durchzuführen (siehe nächster Abschnitt). Außerdem sollen die Wechselwirkungen in der Dispersion die Schwerkraft überwiegen.\\

Haben alle Partikel dieselbe Form und Größe spricht man von einem monodispersiven System, sonst von einem polydispersiven System. Als Maß für die Breite der Teilchengrößen-Verteilung benutzt man die Polydispersität $\sigma$. Wenn der Mittelwert des Partikelradius $a_0$ ist, und $a$ der Radius eines bestimmten Partikels, so gilt:
\begin{align*}
    \sigma^2 &= \frac{\langle(a-a_0)^2\rangle}{a_0^2}
\end{align*}


\subsection{Brown'sche Bewegung}
Bei endliche Temperatur $T>0$ haben wir eine zufällige Bewegung der Teilchen des Fluids. Durch Zusammenstöße zwischen den Teilchen des Dispersionsmediums und der Partikel wird Impuls ausgetauscht, und somit bewegen sich auch die Partikel willkürlich ('random walk'). Für die Brownsche Molekularbewegung ist es möglich das mittlere Verschiebungsquadrat der Partikel in Abhängigkeit von der Zeit zu bestimmen. Der mittlere Weg, den ein Teilchen somit in der Zeit $t$ zurücklegt, ist gegeben durch
\begin{align*}
    \Delta r &= \sqrt{6 D_0 t}
\end{align*}
mit der Selbstdiffusionskonstante $D_0$, die bei hinreichend verdünnten Lösungen berechnet werden kann durch
\begin{align*}
    D &= \frac{k_B T}{6 \pi \eta a_H}.
\end{align*}
Hier ist $\eta$ die Viskosität, $a_H$ die hydrodynamische Teilchengröße (welche etwa $10\%$ größer als der geometrische Radius ist).


\newpage
\subsection{Statische Lichtstreuung}
Will man die Strukturelle Anordnung und die Struktur der Partikel bestimmen, so bietet sich wie in der Festkörperphysik ein Streuexperiment mit monochromatischem Licht (Laser) an. Rein schematisch betrachten wir zunächst die Streuung an einem einzelnen Partikel (hier links im Bild):
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{streuexperiment_sls.PNG}
    \caption{Streuexperiment Statische Lichtstreuung - Quelle: Lit2 aus der Anleitung, Kapitel 2.2.1}
\end{figure}
Fällt Licht mit Wellenvektor $\vec{k}_e$ von links kommend auf das große Partikel (mit Brechungsindex $n_p$), so verändert es unter der Annahme elastischer Struung nur seine Richtung und wir haben einen auslaufenden Strahl mit $\vec{k}_s$. Wir definieren den Impulsübertrag $\vec{q} = \vec{k}_e - \vec{k}_s$ als die den Streuprozess charakterisierende Größe.\\

Durch Geometrische Überlegungen findet man einen Zusammenhang zwischen $q$, $\Theta$, dem Brechungsindex $n$ und der Wellenlänge $\lambda$:
\begin{align}\label{dsls:eq:q}
    q = \left|\vec{q} \right| &= \frac{4 \pi n}{\lambda} \sin\left(\frac{\Theta}{2}\right)
\end{align}
Für die Überlagerung der Strahlen von vielen Streuzentren findet man die Intensität
\begin{align*}
    I(\vec{q}, t) &= \left| E(\vec{q},t) \right|^2 \\
    &= E_0^2 \sum_{j = 1}^N \sum_{k = 1}^N b_j\left(\vec{q},t\right) b_k\left(\vec{q},t\right)^{*} e^{- i \vec{q} \left( \vec{R_j}(t) - \vec{R_k}(t)\right)}\, . 
\end{align*}
Durch zeitliche Mittelung erhält man die für die statische Lichtstreuung interessante Intensität:
\begin{align*}
    \langle I(\vec{q})\rangle_t &=I_0 N |b(0)|^2 S (q) P(q)
\end{align*}
An dieser Stelle wurde bereits angenommen, dass jedes Partikel denselben Streuquerschnitt $\left| b(0)\right|^2$ und Formfaktor
\begin{align}
    P(q) &= \left| \frac{b(\vec{q})}{b(0)} \right|^2
\end{align}
besitzt. Der Strukturfaktor $S (\vec{q})$ ist gegeben durch die folgende zeitliche Mittelung:
\begin{align}
    S(\vec{q}) &=  \frac{1}{N} \langle \sum_{j = 1}^N \sum_{k = 1}^N e^{- i \vec{q} \left( \vec{R_j}(t) - \vec{R_k}(t)\right)} \rangle_t
\end{align}
Es in den obigen Gleichungen $N$ die Anzahl der Streupartikel, $\vec{R}_{j}$ der Ortsvektor des $j$-ten Partikels. Der Strukturfaktor gibt Aufschluss über die interpartikuläre Streuung und damit über die Anordnung der Partikel. Der Formfaktor der Partikel $P(q)$ entsteht durch intrapartikuläre Interferenz und lässt somit Rückschlüsse auf die Form und Größe der Teilchen zu. In der Rayleigh-Debye-Gans (RDG)-Näherung findet man für monodispersive Systeme ($\sigma = 0$):
\begin{align}\label{dsls:eq:monodis}
    P(q,a)_\text{RDB,mono} &= \frac{9}{(qa)^6} \left( \sin(qa) - qa \cos(qa)\right)^2
\end{align}
Für polydispersive Systeme ($\sigma \neq 0$) hingegen
\begin{align}\label{dsls:eq:polydis}
    P(q,a, \sigma)_\text{RDB,poly} &= \frac{P(q,a(1-\sqrt{3}\sigma))_\text{RDB,mono}}{6} + \frac{P(q,a(1+\sqrt{3}\sigma))_\text{RDB,mono}}{6} + \frac{2 P(q,a)_\text{RDB,mono}}{3} \, .
\end{align}
Für den Fall einer Gasförmigen Phase der Partikel im Dispersionsmedium geht der Strukturfaktor $S(\vec{q})$ gegen $1$. Somit ist in diesem speziellen Fall 
\begin{align}
    \langle I_s(\vec{q}) \rangle_t \propto P(q)
\end{align}



\subsection{Dynamische Lichtstreuung}
Aufgrund der Brown'schen Molekularbewegung kommt es zu einer zeitlichen Änderung der Phasenbeziehungen der Partikeln und damit zu seiner zeitlichen Fluktuation der Streuintensität. In der homodynen Lichtstreuung werden die zeitlichen Fluktuationen der Intensität miteinander korreliert. Dies führt zur Intensitätsautokorrelationsfunktion.
\begin{align*}
    G^{(2)}(q,t,\tau) &= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_0^T I(t+t') I*(t+t'+\tau) dt' \\
    &= \langle I(q,t) I*(q,t+\tau) \rangle_T
\end{align*}
Es ist meist praktischer die normierte Autokorrelationsfunktion (NAKF) zu betrachten.
\begin{align}\label{dsls:eq:corr}
    g^{(2)}(q,\tau) &= \frac{\langle I(q,0) I^*(q,\tau) \rangle}{\langle I(q) \rangle^2}
\end{align}
Diese Größe berechnet uns im Experiment ein spezieller Computer.\\
Unter Zuhilfenahme der Siegert-Relation ist es möglich den normierten dynamischen Strukturfaktor $f(q,\tau)$ durch die normierte Autokorrelationsfunktion $g^{(2)}$ und dem Kohärenzfaktor $\beta$ auszudrücken:
\begin{align}
    f(q,\tau) = \frac{S(g,\tau)}{S(q,0)} = \sqrt{\frac{g^{(2)}(q,\tau)- 1}{\beta}}
\end{align} 

\newpage
\section{Versuchsdurchführung}
Im Versuch sollte der Partikelformfaktor, der statische Strukturfaktor und die Intensitätsautokorrelationsfunktion mehrerer Proben bestimmt werden. 
\subsection{Bestimmung des Partikelformfaktors durch statische Lichtstreuung}
Zur Bestimmung des Partikelformfaktors, wurden drei verschiedene Proben mittels statischer Lichtstreuung betrachtet. Zunächst wurde das Streumuster einer Eichprobe mit Rayleigh-Streuern bestimmt. Daraufhin wurden die Proben im Winkelbereich von $40^{\circ}$ bis $140^{\circ}$ mit einer Schrittweite von $5^{\circ}$ gemessen. Für jeden Messpunkt wurde über $3$s gemittelt. Aus diesen Daten wird in der Auswertung die Partikelgröße und die Polydispersität bestimmt.
\subsection{Bestimmung des statischen Strukturfaktors durch statische Lichtstreuung}
Im zweiten Versuchsteil, wurde im Winkelbereich von $20^{\circ}$ bis $90^{\circ}$ mit einer Schrittweite von $0.5 ^{\circ}$ die Streuintensitäten von einer strukturlosen und zwei Proben mit struktureller Ordnung das Streumuster aufgenommen. Es wurde dieses Mal für jeden Messpunkt $1$s gemittelt. Mit diesen Messungen bestimmen wir später die Strukturfaktoren der Proben.
\subsection{Bestimmung der Intensitätsautokorrelationsfunktion}
Im letzten Versuchsteil wurde die Intensitätsautokorrelationsfunktion der Proben bei jeweils vier verschiedenen Winkeln bestimmt. Es wurden die Winkel $40^{\circ}, 60^{\circ}, 85^{\circ}, 100^{\circ}$ vermessen. Dies soll die Bestimmung der Diffusionskoeffizienten und der hydrodynamischen Radien ermöglichen. Jede Messung wurde drei Mal wiederholt und über $30$ Sekunden gemittelt.
\newpage

\section{Auswertung}
\subsection{Bestimmung des Partikelformfaktors durch statische Lichtstreuung}
Zunächst haben wir wie oben diskutiert eine Probe mit Rayleigh-Streuern vermessen. Der aufgezeichnete Intensitätsverlauf ist in \autoref{dsls:fig:1_1} zu sehen. Hier würde man naiv eine horizontale Gerade erwarten, dem ist aber nicht so aufgrund der Absorbtion von Teilen des Lichts durch die Flüssigkeit. Dadurch geht für senkrechte Streuung ($\Theta = 90^\circ$) maximale Intensität verloren. Dieser Effekt wird bei allen Proben gleich sein, weswegen wir diese auf die Eichmessung normieren werden.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{09_DSLS/Eichung.png}
    \caption{Statische Lichtstreuung mit Eich-Probe (Rayleigh-Streuer)}
    \label{dsls:fig:1_1}
\end{figure}
Die so normierten Messungen sind in \autoref{dsls:fig:1_2} abgebildet als Funktion von $q=q(\theta)$, unter Verwendung von Gl. \eqref{dsls:eq:q} mit $n = 1.36$ (Ethanol) und $\lambda = 632.8 \text{nm}$.\\

Wir versuchen nun von diesen Daten auf die Partikelgrößen zu schließen. Dafür passen wir mithilfe von linearer Regression jeweils die beiden Funktionen \eqref{dsls:eq:monodis} und \eqref{dsls:eq:polydis} an, um die Parameter $a$ bzw. $a$ und $\sigma$ zu bestimmen. \\

Die so aufgefundenen Kurven sind in \autoref{dsls:fig:1_4}, \autoref{dsls:fig:1_5}, \autoref{dsls:fig:1_6} abgebildet und die hierfür verwendeten Parameter sind in \autoref{dsls:tab:1} zusammengestellt. Hierbei werden die Fehler der Messdaten entsprechend gewichtet, und sich die Fehler von $a$ und $\sigma$ ergeben sich aus der Fehlermatrix der Anpassung.
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
        Probe && $a_{\text{mono}}$ [nm] & $\Delta a_{\text{mono}}$ [nm] && $a_{\text{poly}}$ [nm] & $\Delta a_{\text{poly}}$ [nm] & $\sigma [\%]$ & $\Delta \sigma [\%]$ \\ \hline
        E 4 && 60.52 & 0.73 &_& 60.00 & 0.05 & 4.29 & 2.87     \\ \hline
        E 5 && 135.82 & 1.34 &_& 135.83 & 3.92 & 9.24& 0.03    \\ \hline
        E 6 && 326.51 & 15.20 &_& 335.84 & 16.71 & 10.55 & 8.51 \\
    \end{tabular}
    \caption{Parameter der Kurven aus \autoref{dsls:fig:1_4}, \autoref{dsls:fig:1_5}, \autoref{dsls:fig:1_6} mit jeweiligem Fehler.}
    \label{dsls:tab:1}
\end{table}

\begin{figure}[H] 
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{09_DSLS/sls11.png}
    \caption{Statische Lichtstreuung mit drei Proben. Intensität normalisiert auf Eich-Probe, y-Achse logarithmiert.}
    \label{dsls:fig:1_2}
\end{figure}

\begin{figure}[H] 
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{09_DSLS/Probe E4.png}
    \caption{Statische Lichtstreuung Probe E4 angepasst an mono- und polydispersiven Strukturfaktor. Intensität normalisiert auf Eich-Probe, y-Achse logarithmiert.}
    \label{dsls:fig:1_4}
\end{figure}

\begin{figure}[H] 
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{09_DSLS/Probe E5.png}
    \caption{Statische Lichtstreuung Probe E5 angepasst an mono- und polydispersiven Strukturfaktor. Intensität normalisiert auf Eich-Probe, y-Achse logarithmiert.}
    \label{dsls:fig:1_5}
\end{figure}

\begin{figure}[H] 
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{09_DSLS/Probe E6.png}
    \caption{Statische Lichtstreuung Probe E6 angepasst an mono- und polydispersiven Strukturfaktor. Intensität normalisiert auf Eich-Probe, y-Achse logarithmiert.}
    \label{dsls:fig:1_6}
\end{figure}


\subsection{Bestimmung des Partikelformfaktors durch statische Lichtstreuung}
Im zweiten Versuchsteil sollen die Strukturen der Proben untersucht werden. Es ist also möglich, die Kristallstruktur, sowie die Gitterkonstante der kristallinen Proben zu ermitteln. Dazu betrachten wir zunächst die Beziehung \eqref{dsls:eq:q} im Spezialfall von $n\approx 1.36$, da es sich bei dem Dispersionsmedium um Ethanol handelt. Mithilfe der Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz bestimmt man den Abstand zweier Gitterebenen zu
\begin{equation}
    d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}},
\end{equation}
abhängig von den Miller'schen Indizes $h$, $k$, $l$. Kombiniert man nun die Bragg-Bedingung mit \eqref{dsls:eq:q} und oben stehendem Ebenenabstand, so erhält man
\begin{equation}
    q^2=\frac{4\pi^2}{a^2}\left( h^2+k^2+l^2 \right).
    \label{dsls:eq:q_quadrat}
\end{equation}
Unter Verwendung der bekannten Gitterstrukturfaktoren für einatomige sc-, bcc- und fcc- Gitter (siehe \autoref{dsls:tab:2}) ist es uns nun möglich die Miller’schen Indizes zu bestimmen, bei denen konstruktive Interferenz vorliegt.

\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c||c|c|c}
        Peak Nr. & sc: $h$, $k$, $l$ & bcc: $h$, $k$, $l$ & fcc: $h$, $k$, $l$\\ \hline
        \hline
        1 & 1,0,0 & 1,1,0 & 1,1,1   \\
        \hline
        2 & 1,1,0 & 2,0,0 & 2,0,0   \\
        \hline
        3 & 1,1,1 & 2,1,1 & 2,2,0   \\
        \hline
        4 & 2,0,0 & 2,2,0 & 3,1,1   \\
        \hline
        
    \end{tabular}
    \caption{Zuordnung der Miller'schen Indizes $h$, $k$, $l$ für die konstruktive Interferenz an den jeweiligen Kristallgittern sc, bcc und fcc entsteht.}
    \label{dsls:tab:2}
\end{table}
Die Intensität in Abhängigkeit des Winkels $\Theta$ bzw. des Streuvektors $\vec{q}(\Theta)$ lautet
\begin{equation}
    I(q)\propto I_0 \rho^s_n V(q) S(q) |b(0)|^2 + B(q),
\end{equation}
wobei $I_0$ die eingestrahlte Intensität ist, $\rho^s_n$ die Anzahldichte (Konzentration) der streuenden Partikel, $V(q)$ das winkelabhängige Streuvolumen, $P(q)$ der Formfaktor und $F(q)$ der Strukturfaktor. Außerdem bezeichnet $|b(0)|^2$ das Streuvermögen. Das Hintergrundsignal wird als $B(q)$ bezeichnet. Um nun den Strukturfaktor bestimmen zu können, normieren wir mit der Intensitätsverteilung der strukturlosen Probe. Dafür nehmen wir die Gas-Probe, woraus wir die renormierte Intensitätsverteilung der Kristallgitter erhalten zu
\begin{equation}
    I(\vec{q})=\frac{I_{Probe}(\vec{q})}{I_{Gas}(\vec{q})}=\frac{S_{Probe}(\vec{q})}{S_{Gas}(\vec{q})}.
\end{equation}
Die normierten Intensitäten sind in der untenstehenden Abbildung zu sehen.

\begin{figure}[H] 
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{09_DSLS/Intensitaeten.png}
    \caption{Normierte Streuintensitäten feste Struktur.}
    \label{dsls:fig:1_intensitaeten}
\end{figure}



\noindent Wie für kristalline Proben erwartet sind scharfe Peaks für die zweite Probe zu erkennen. Für Probe 1 liegt keine kistalline Prove vor - bei dem Peak von $1.5\SI{}{\frac{1}{m}}$ habdelt es sich um einen Störeinfluss, höchstwahrscheinlich Staub, der nicht durch Abwaschen der Probe entfernt wurde.
Damit erhalten wir für den gemessenen Peak der ersten Struktur:
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c||c}
        Peak Nr. &$|q|$ [$10^7\,\SI{}{\frac{1}{m}}$]\\ \hline
        \hline
        3 & 2.09 \pm 0.02   \\
    \end{tabular}
    \caption{Peak der ersten Probe.}
\end{table}
\noindent Hierbei wurde Peak Nr. 2 und Peak Nr. 5 \textit{vermutet}, da diese nur extrem schwach zu erkennen sind, was größere Unsichehreiten als die oben angegeben mit sich bringt. Und für die Peaks der zweiten kristallinen Struktur:
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c||c}
        Peak Nr. &$|q|$ [$10^7\,\SI{}{\frac{1}{m}}$]\\ \hline
        \hline
        1 & 1.14 \pm 0.05  \\
        \hline
        2 & 1.88 \pm 0.06   \\
        \hline
        3 & 2.10 \pm 0.4   \\
        \hline
        4 & 2.55 \pm 0.5   \\
        
    \end{tabular}
    \caption{Peaks der zweiten kristallinen Struktur.}
\end{table}
\noindent Als Unsicherheit wurde die Halbwertsbreite (FWHM) angegeben. Mithilfe von \eqref{dsls:eq:q_quadrat} kann man die Verhältnisse der $q^2$ mit denen der Miller'schen Indizes berechnen, welche unabhängig von den jeweiligen Gitterkonstanten $a$ sind. Dadurch bestimmen wir die Proben zu:
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c||c}
        Proben Nr. & Gittertyp\\ \hline
        \hline
        1 & -   \\
        \hline
        2 & BCC  \\
        
    \end{tabular}
    \caption{Aus den Verhältnissen der $q^2$ bestimmte Gittertypen.}
\end{table}
\noindentFür Probe 1 liegt keine kristalline Probe vor, da \autoref{dsls:fig:1_intensitaeten} kein für kirstalline Proben typisches Verhalten im Fall von Probe 1 zeigt. Die Tatsache, dass die Intensitäten in \autoref{dsls:fig:1_intensitaeten} abnehmen lässt für Probe 2 auf ein BCC statt auf ein SC-Gitter schließen, welches alleine durch die Verhältnisse der $q^2$ nicht ausgeschlossen gewesen wäre.\\
\\[0.5pt]
Schließlich lassen sich noch die Gitterkonstanten der Proben durch lineare Interpolation bestimmen. Dazu tragen wir die quadrierten Peakpositionen $q^2$ gegen die Miller'schen Indizes auf.

\begin{figure}[H] 
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{09_DSLS/Probe1.png}
    \caption{Peakpositionen der Probe 1 gegen $h^2+k^2+l^2$ aufgetragen.}
    \label{dsls:fig:1_Probe1}
\end{figure}


\begin{figure}[H] 
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{09_DSLS/Probe2.png}
    \caption{Peakpositionen der Probe 2 gegen $h^2+k^2+l^2$ aufgetragen.}
    \label{dsls:fig:1_Probe2}
\end{figure}


\noindent Die Steigung der Ausgleichsgraden ergiben sich sich zu:
\begin{align}
    m_1 =& \frac{4\pi}{a_1^2}= \left( 5.046 \pm 2.501 \right) \cdot 10^{13} \,\SI{}{\frac{1}{m^2}} \\
    m_2 =& \frac{4\pi}{a_1^2}= \left( 5.154 \pm 1.140 \right) \cdot 10^{13} \,\SI{}{\frac{1}{m^2}},
\end{align}
woraus sich die jeweiligen Gitteerkonstanten bestimmen lassen:
\begin{align}
    a_1 =& \left( 499.03 \pm 35.133 \right) \,\SI{}{nm}\\
    a_2 =& \left( 493.778 \pm 23.222 \right) \,\SI{}{nm}.
\end{align}
Abschließend lassen sich noch die Teilchenzahldichten berechnen, für ein BCC-Gitter sind $2$ Atome in einer Einheitszelle, für ein FCC-Gitter sind es $4$ Atome in einer Einheitszelle:
\begin{align}
    \rho_1 =& \frac{Anzahl\,\,Atome}{a_1^3} = \left( 3.38 \pm 0.16 \right) \cdot 10^{19} \SI{}{\frac{1}{m^3}} \\
    \rho_2 =& \frac{Anzahl\,\,Atome}{a_1^3} = \left( 1.61 \pm 0.08 \right) \cdot 10^{19} \SI{}{\frac{1}{m^3}}.
\end{align}

\newpage











\subsection{Intensitätsautokorrelationsfunktion für dynamische Lichtstreuung}
Wir führen die dynamische Lichtstreuung mit den selben drei Proben wie in Teil 1 durch. Mit einem speziellen Computer messen wir direkt die Autokorrelationsfunktion $g^{(1)}-1$ (siehe \eqref{dsls:eq:corr}) als Funktion der Zeitverschiebung (lag). Es wurden jeweils die ersten 10 Messpunkte sowie die Werte, die unter der Hälfte des elften Wertes lagen verworfen, da es hier zu Dekorrelation bzw. starkem Rauschen kam. Die verwendeten Messdaten sind in \autoref{dsls:fig:3_1}, \autoref{dsls:fig:3_2} und \autoref{dsls:fig:3_3} dargestellt. Die Daten wurden hier an Funktionen der Form $\exp{\left(p_0-p_1\tau+p_2\tau^2/2\right)}$ angepasst. \\
Die uns interessierenden Parameter $D_0$, $a_H$ und $\sigma$ hängen mit den Koeffizienten $p_i$ wie folgt zusammen:
\begin{align*}
    D_0 &= \frac{p_1}{2q^2}\\
    a_H &= \frac{k_B T}{3 \pi \eta D_0} = \frac{k_B T q^2}{3 \pi \eta p_1}\\
    \sigma &= \frac{\sqrt{p_2}}{p_1}
\end{align*}
Wir hatten beim Versuch die Parameter $\eta = 0.895\cdot10^{−3} \frac{\text{Ns}}{\text{m}} $ und $T = 298.16\text{K}$, $q$ ergibt sich wie oben aus dem Winkel, der Wellenlänge und dem Brechungsindex. Auf diese Weise berechnen wir für jede Messreihe so die drei Größen $D_0$, $a_H$ und $\sigma$ und mitteln diese dann für jede Probe. Die Ergebnisse sind aus \autoref{dsls:tab:3} zu entnehmen. Fehler ergeben sich aus der Standardabweichung des Mittelwerts, diese ergaben sich als sehr groß, da die bestimmten Werte sehr weit streuten und die Fehler der Fits auch sehr groß waren. In \autoref{dsls:fig:ah} sind die berechneten Werte von $a_H$ zusätzlich noch als Funktion von $q$ dargestellt, in \autoref{dsls:fig:avgl} vergleichen wir die berechneten Radien mit denen aus Teil 1.  Man sieht, dass die SLS stets einen größeren Wert ergab.
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
        Probe & $D_0$ [µm²/s]& $\Delta D_0$ [µm²/s]& $a_H$ [nm] & $\Delta a_H$ [nm] & $\sigma [\%]$ & $\Delta \sigma [\%]$ \\ \hline
        E4 & 2.696 & 0.155 & 90.755 & 5.284 & 39.962 & 15.892  \\ \hline %P3
        E5 & 1.228 & 0.127 & 200.451 & 22.417 & 38.874 & 29.130 \\ \hline %P1
        E6 & 0.744 & 0.330 & 369.774 & 128.939 & 64.071 & 26.760 \\ \hline %P2
    \end{tabular}
    \caption{Gemittelte Ergebnisse für die Eigenschaften der Proben, erhalten mit dynamischer Lichtstreuung.}
    \label{dsls:tab:3}
\end{table}
\begin{figure}[H] 
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{09_DSLS/P3_fit.png}
    \caption{Korrelationsfkt. bei dynamischer Lichtstreuung von Probe E4}
    \label{dsls:fig:3_1}
\end{figure}
\begin{figure}[H] 
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{09_DSLS/P1_fit.png}
    \caption{Korrelationsfkt. bei dynamischer Lichtstreuung von Probe E5}
    \label{dsls:fig:3_2}
\end{figure}
\begin{figure}[H] 
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{09_DSLS/P2_fit.png}
    \caption{Korrelationsfkt. bei dynamischer Lichtstreuung von Probe E6}
    \label{dsls:fig:3_3}
\end{figure}
\begin{figure}[H] 
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{09_DSLS/t3_ah.png}
    \caption{$a_H(q)$ bei den drei Proben}
    \label{dsls:fig:ah}
\end{figure}
\begin{figure}[H] 
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{09_DSLS/ahvgl.png}
    \caption{$a_H$ verglichen mit den Ergebnissen aus \autoref{dsls:tab:1}. Zur Orientierung ist die Funktion $f(x)=x$ eingezeichnet.}
    \label{dsls:fig:avgl}
\end{figure}

\section{Zusammenfassung}
Die Theorie konnte im Experiment zumindest grob bestätigt werden, da die Fehler und Abweichungen doch sehr groß waren. Diese lassen sich auf eine große Streuung der Messpunkte zurückführen.
\end{document}